0x05算法设计与分析复习（二）：算法设计策略-分治法4

参考书籍：算法设计与分析——C++语言描述（第二版）

算法设计策略-分治法

选择问题

问题描述

选择问题（select problem）是指在n个元素的集合中，选出某个元素值大小在集合中处于第k位的元素，即所谓的求第k小元素问题（Kth-smallest）。

分治法求解

如果使用快速排序中所采用的选取主元的分划方法，以主元为基准，将一个表划分为左右两个子表。设原表的长度为n，经过一趟划 分，分成左右两个子表，其中左子表时主元及其左边的元素的集合，长度为p；右子表是主元右边元素的集合。那么，如果k=p，则主元就是第k小元素；否则若k<p，第k小元素就在左子表中，求解的子问题就是在左子表中寻找第k小元素；若k>p，第k小元素就在有子表中，求解的子问题就是在右子表中寻找第k−p小元素。

//Select 函数
//随机选主元算法 
//假定表中元素各不相同，并且随机选择主元，即在下标区间[left,right]中随机选择一个下标r，以该下标处的元素为主元。 

template<class T>
  ResaultCode SortableList<T>::Select1(T& x, int k)
  {
    if(n<=0 || k>n || k<=0)
      return OutOfBounds;
    int left = 0, right = n; l[n] = INFTY;//INFITY是一个大值
    do{
      int j = rand()%(right-left+1)+left;//随机选择主元
      Swap(left,j);//将主元交换至位置left处
      j=Partition(left,right);//执行分划操作
      if(k==j+1){//找到
        x=l[j];
        return Success;
      } else if(k<j+1){
        right = j;
      } else{
        left = j+1;
      }
    }while(true);
  }

上述算法与快速排序有相同的最坏情况时间复杂度O(n2)，当其平均时间复杂度是线性的，即O(n)。

线性时间选择算法*

下面是最坏情况下具有线性时间的求第k小元素的算法。

改进的选择算法采用二次取中法(median of medians rule)确定主元。通过精心挑选分划元素，可以使得所得的两个子集合的大小相对接近，从而使得求第k小元素的最坏情况时间具有线性时间O(n)。

//线性时间选择算法
ResultCode SortableList<T>::Select(T& x, int k)
{
  if(n<=0||k>n||k<=0)
    return OutOfBounds;
  int j=Select(k,0,n-1,5);
  x=l[j];
  return Success;
}
template<class T>
  int SortableList<T>::Select(int k, int left, int right, int r)
  {
    int n = right-left+1;
    //若问题足够小，使用直接插入排序，取其中的第k小元素，其下标为left+k-1
    if(n<=r){
      InsertSort(left, right);
      return left+k-1;
    }
    for(int i = 1;i<n/r; i++){
      //二次取中规则求每一组的中间值
      InsertSort(left+(i-1)*r,left+i*r-1);
      //将每组的中间值集中存放在子表前部
      Swap(left+i+1,left+(i-1)*r+Ceil(r,2)-1);
    }
    int j = Select(Ceil(n/r,2),left,left+(n/r)-1,r);//求二次中间值，其下标为j
    Swap(left,j);//二次中间值为主元，并换至left处
    j=Partition(left,right);//对表进行分划操作
    if(k==j-left+1)
      return j;//返回k小元素下标
    else{
      if(k<j-left+1)
        return Select(k,left,j-1,r);//在左子表中求第k小元素
      else
        return Select(k-(j-left+1),j+1,right,r);//在右子表中求第k-(j-left+1)小元素
    }
  }

斯特拉森矩阵乘法

普通的矩阵乘法算法的时间复杂度为Θ(n3)。

分治法

假定n是2的幂，n=2k。如果相乘的矩阵不是方阵，可以通过增加全零行或列来成为2的幂的方阵。当分治法用于求解矩阵相乘问题时，可以采用对矩阵分块的方法将其分解为4个(n/2)×(n/2)的矩阵，

[A11A21A12A22][B11B21B12B22]=[C11C21C12C22]C11=A11B11+A12B21C12=A11B12+A12B22C21=A21B11+A22B21C22=A21B12+A22B22

如果子矩阵还不够小，则还需要进一步划分，直到每个子矩阵只含有一个元素，可以直接计算其乘积。

但是这种分治法的时间复杂度仍为O(n3)。

斯特拉森分治法

斯特拉森通过减少子矩阵的乘法次数来降低时间复杂度。其处理方式是，先执行7次子矩阵的乘法和10次加（减）法得到7个中间子矩阵：

P=(A11+A22)(B11+B22)Q=(A21+A22)B11R=A11(B12−B22)S=A22(B21−B11)T=(A11+A12)B22U=(A21−A11)(B11+B12)V=(A12−A22)(B21+B22)

然后再使用8次子矩阵加（减）法得到：

C11=P+S−T+VC12=R+T;C21=Q+S;C22=P+R−Q+U

于是

T(n)={b7T(n/2)+dn2 n≤2 n>2

T(n)=Θ(nlog7)≈Θ(n2.81)。

在Strassen之后又有许多算法改进了矩阵乘法的计算时间复杂性。目前最好的计算时间上界是
O(n2.376)