0x05算法设计与分析复习（二）：算法设计策略-分治法1

参考书籍：算法设计与分析——C++语言描述（第二版）

算法设计策略-分治法

分治法

分治法的基本思想

分治法就是分而治之，一个问题能够用分治法求解的要素是：第一，问题能够按照某种方法分解成若干个规模较小，相互独立且与原问题类型相同的子问题；第二，子问题足够小时可以直接求解；第三，能够将子问题的解组合成原问题的解。

由于分治法要求分解成同类子问题，并允许不断分解，使问题的规模逐步减小，最终可用已知的方法求解足够小的问题，因此分治法求解很自然导致一个递归算法。

分治法求解框架：

SolutionType DandC(ProblemType P)
{
  ProblemType P1,P2,...,Pk;
  if(Small(P))  //子问题P足够小，用S(P)直接求解
    return S(P);
  else{
    Divide(P,P1,P2,...,Pk); //将问题P分解成子问题P1,P2,...,Pk
    return Combine(DandC(P1),DandC(P2),...,DandC(Pk));  //求解子问题，合并求解
  }
}

其中Small(P)是一个布尔值函数，它判定问题P是否足够小。Divide函数以某种方式，将问题P分解成规模较小，相互独立的若干同类型子问题。Combine函数将各子问题的解组合成原始问题的解。特殊的，一分为二的分治法：

SolutionType DandC(int left, int right)
{
  if(Small(left, right))
    return S(left,right);
  else{
    int m = Divide(left, right);    //以m为界将问题分解成两个子问题
    return Combine(DandC(left, m),DandC(m+1, right));   //分别求解子问题，合并求解
  }
}

如果较大的问题可以分为几个同样大小的问题，那么往往可以得到以下的递推公式:

T(n)=aT(n/b)+cnk, T(1)=c$$T(n)=aT(n/b)+c{n}^k,T(1)=c$$

定理：设a$a$，b$b$，c$c$和k$k$为常数，T(n)=aT(n/b)+cnk, T(1)=c$T(n)=aT(n/b)+c{n}^k,T(1)=c$，则

T(n)=⎧⎩⎨⎪⎪Θ(nlogba)Θ(nklogn)Θ(nk)如果如果如果a>bka=bka<nk$$T(n)=\{\begin{array}{rlrl}& \mathrm{\Theta }(n^{{\log }_{b}a})& 如果& a>b^k\\ & \mathrm{\Theta }(n^k\log n)& 如果& a=b^k\\ & \mathrm{\Theta }(n^k)& 如果& a<n^k\end{array}$$

分治法求最大元最小元

问题描述

在一个元素集合中寻找最大元素和最小元素的问题，即在互不相同的n$n$个数x1,x2,⋯,xn$x_1,x_2,\cdots ,x_n$中，找出最大和最小的数。

分治法求解

用分治法求最大最小元。可以将原问题分解成大小基本相等的两个子问题。显然在一个或两个元素的表中求最大、最小元是容易的，可以直接求得；如果已经求得了由分解所得的两个字表中的最大、最小元，则原表的最大元是两个字表中的最大元之较大者，原表的最小元是两子表中的最小元之较小者。

template <class T>
void SortableList<T>::MaxMin(int i, int j, T& max, T& min)const
//前置条件：i和j，0<=i<=j<表长，是表的下标范围的界
{
    T min1, max1;
    if(i == j){
        max=min=l[i];   //表中只有一个元素
    }   else{           //表中有两个元素
        if(i == j-1){
            if(l[i] < l[j]){
                max = l[j];
                min = l[i];
            }   else{
                max = l[i];
                min = l[j];
                }
        }   else{       //表中多于两个元素时
            int m = (i+j)/2;    //对半分割
            MaxMin(i,m,max,min);    //求前一半部分子表中的最大最小元素
            MaxMin(m+1,j,max1,min1);    //求后一半部分子表中的最大最小元素
            if(max < max1){         //两子表最大元的大者为原表最大元
                max = max1;
            }
            if(min > min1){         //两子表最小元的小者为原表最小元
                min = min1;
            }
        }
    }
  }

使用归纳法可以证明算法的正确性。

用C语言实验如下：

//#include <stdio.h>
//
//int gcd(int m, int n)
//{
//  //欧几里得辗转相除法
//  //假定m<n
//  if(m == 0) {
//      return n;
//  } else {
//      int tmp;
//      while(m>0) {
//          tmp = n%m;
//          n = m;
//          m = tmp;
//      }
//      return n;
//  }
//}
//
//int Rgcd(int m, int n)
//{
//  //递归形式
//  if(m == 0) {
//      return n;
//  } else {
//      return Rgcd(n%m, m);
//  }
//}
//
//int main()
//{
//  int m, n, r1, r2;
//  scanf("%d%d", &m, &n);
//  
//  if(n>m) {
//      r1 = gcd(m,n);
//      r2 = Rgcd(m,n);
//  } else {
//      r1 = gcd(n,m);
//      r2 = Rgcd(n,m);
//  }
//  
//  printf("GCD of m and n: %d
", r1);
//  printf("GCD of m and n: %d
", r2);
//  
//  
//  return 0;
//}

#include <stdio.h>

void MaxMin(int l[], int i, int j, int *max, int *min)
//前置条件：i和j，0<=i<=j<表长，是表的下标范围的界
{
  int min1=l[i], max1=l[i];
  if(i == j){
    *max=*min=l[i]; //表中只有一个元素
  } else{         //表中有两个元素
      if(i == j-1){
        if(l[i] < l[j]){
          *max = l[j];
          *min = l[i];
        } else{
            *max = l[i];
            *min = l[j];
        }
      } else{       //表中多于两个元素时
          int m = (i+j)/2;  //对半分割
          MaxMin(l,i,m,max,min);  //求前一半部分子表中的最大最小元素
          MaxMin(l,m+1,j,&max1,&min1);  //求后一半部分子表中的最大最小元素
          if(*max < max1){           //两子表最大元的大者为原表最大元
            *max = max1;
          }
          if(*min > min1){          //两子表最小元的小者为原表最小元
            *min = min1;
          }
      }
  }
  printf("i= %d; j= %d; Max = %d; Min = %d
", i, j, *max, *min);
}

int main()
{
    int P[10] = {1, 3, 5, 2, 3 ,6 ,7, 1, 10, -11};
    int max = 0, min = 0;
    printf("array P:");
    for(int i = 0; i<10; i++)
        printf(" %d", P[i]);
    printf("
");
    MaxMin(P, 0, 9, &max, &min);

    return 0;
}

实验结果：

array P: 1 3 5 2 3 6 7 1 10 -11
i= 0; j= 1; Max = 3; Min = 1
i= 2; j= 2; Max = 5; Min = 5
i= 0; j= 2; Max = 5; Min = 1
i= 3; j= 4; Max = 3; Min = 2
i= 0; j= 4; Max = 5; Min = 1
i= 5; j= 6; Max = 7; Min = 6
i= 7; j= 7; Max = 1; Min = 1
i= 5; j= 7; Max = 7; Min = 1
i= 8; j= 9; Max = 10; Min = -11
i= 5; j= 9; Max = 10; Min = -11
i= 0; j= 9; Max = 10; Min = -11

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时间分析

分治法求最大元最小元程序在最好、平均和最坏情况下的比较次数都为3n/2−2$3n/2-2$。

小结

分治法的思想：

对于一个规模为n的问题，若该问题可以容易地解决（比如说规模n较小）则直接解决，否则将其分解为k个规模较小的子问题，这些子问题互相独立且与原问题形式相同，递归地解这些子问题，然后将各子问题的解合并得到原问题的解。

分治法在每一层递归上都有三个步骤：

1. 分解：将原问题分解为若干个规模较小，相互独立，与原问题形式相同的子问题；
2. 解决：若子问题规模较小而容易被解决则直接解，否则递归地解各个子问题；
3. 合并：将各个子问题的解合并为原问题的解。

分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征：

• 该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决；
  
  • 因为问题的计算复杂性一般是随着问题规模的增加而增加，因此大部分问题满足这个特征
• 该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题；
  
  • 这条特征是应用分治法的前提，它也是大多数问题可以满足的，此特征反映了递归思想的应用
• 利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解；
  
  • 能否利用分治法完全取决于问题是否具有这条特征，如果具备了前两条特征，而不具备第三条特征，则可以考虑贪心算法或动态规划算法
• 该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子问题。
  
  • 这条特征涉及到分治法的效率，如果各子问题是不独立的，则分治法要做许多不必要的工作，重复地解公共的子问题，此时虽然也可用分治法，但一般用动态规划较好