1.糖水定理:
a克糖水中有b克糖(a>0,b>0,且a>b),则糖的质量和糖水的质量比为:b/a,若再添加c克糖(c>0),则糖的质量和糖水的质量比为:(b+c)/(a+c)。生活经验告诉我们:添加糖后,糖水会更甜,于是得出一个不等式:(b+c)/(a+c)>b/a(a>b>0,c>0)。趣称之为“糖水不等式”。糖水不等式为不等式中的难点
2.无穷递降法是证明方程无解的一种方法。其步骤为:假设方程有解,并设X为最小的解。
a克糖水中有b克糖(a>0,b>0,且a>b),则糖的质量和糖水的质量比为:b/a,若再添加c克糖(c>0),则糖的质量和糖水的质量比为:(b+c)/(a+c)。生活经验告诉我们:添加糖后,糖水会更甜,于是得出一个不等式:(b+c)/(a+c)>b/a(a>b>0,c>0)。趣称之为“糖水不等式”。糖水不等式为不等式中的难点
2.无穷递降法是证明方程无解的一种方法。其步骤为:假设方程有解,并设X为最小的解。
从X推出一个更小的解Y。从而与X的最小性相矛盾。所以,方程无解。
这是更小的解,与
的最小性相矛盾。所以,原方程无正整数解。
3 1743年,瑞士数学家欧拉发现了一个著名的恒等式: (a2 + b2 + c2 + d2)(x2 + y2 + z2 + w2) = (ax + by + cz + dw)2 + (ay - bx + cw - dz)2 + (az - bw - cx + dy)2 + (aw + bz - cy - dx)2根据上述欧拉恒等式或四元数的概念可知如果正整数m和n能表示为4个整数的平方和,则其乘积mn也能表示为4个整数的平方和。于是为证明原命题只需证明每个素数可以表示成4个整数的平方和即可。
假设下列方程有正整数解。
![](http://f.hiphotos.baidu.com/baike/s%3D140/sign=b35194af3e6d55fbc1c672225d234f40/5243fbf2b211931325b807c166380cd790238dcc.jpg)
设
为最小的解。即
![](http://g.hiphotos.baidu.com/baike/s%3D75/sign=984d6692fe1f4134e437077b241f16c4/8718367adab44aed10204595b01c8701a18bfb51.jpg)
![](http://d.hiphotos.baidu.com/baike/s%3D140/sign=00af7ace8f5494ee83220b1d1df4e0e1/9e3df8dcd100baa13e60bcca4410b912c8fc2e77.jpg)
显然,
和
都必须能被3整除。
![](http://f.hiphotos.baidu.com/baike/s%3D14/sign=54fb78bc5166d0167a199a2c972b4d10/472309f7905298221f2ec2b2d4ca7bcb0a46d4a6.jpg)
![](http://d.hiphotos.baidu.com/baike/s%3D16/sign=39d11772cb95d143de76e02572f05fe8/0d338744ebf81a4c2a7917b8d42a6059252da67c.jpg)
设
及
,
![](http://d.hiphotos.baidu.com/baike/s%3D56/sign=b992ac98f1d3572c62e29cda8a13833a/37d12f2eb9389b50fc811b238635e5dde7116e41.jpg)
![](http://b.hiphotos.baidu.com/baike/s%3D56/sign=334ead6661d0f703e2b295da09fa9dd0/8435e5dde71190efcf9b69aecd1b9d16fdfa605b.jpg)
我们得到
![](http://b.hiphotos.baidu.com/baike/s%3D195/sign=68d063755a82b2b7a39f3dcd04accb0a/2cf5e0fe9925bc3195f4fae95ddf8db1cb137012.jpg)
两边同时除以3,就得到
![](http://b.hiphotos.baidu.com/baike/s%3D133/sign=63c29941be12c8fcb0f3f2cecf0292b4/faedab64034f78f0e67f71927e310a55b3191c5e.jpg)
![](http://d.hiphotos.baidu.com/baike/s%3D75/sign=a21b7cf6d3a20cf44290fcda7709d98d/c9fcc3cec3fdfc0369dc18c9d73f8794a4c2261f.jpg)
3 1743年,瑞士数学家欧拉发现了一个著名的恒等式: (a2 + b2 + c2 + d2)(x2 + y2 + z2 + w2) = (ax + by + cz + dw)2 + (ay - bx + cw - dz)2 + (az - bw - cx + dy)2 + (aw + bz - cy - dx)2根据上述欧拉恒等式或四元数的概念可知如果正整数m和n能表示为4个整数的平方和,则其乘积mn也能表示为4个整数的平方和。于是为证明原命题只需证明每个素数可以表示成4个整数的平方和即可。