题解 DTOJ #1002.调整（tweak）

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【题目描述】

已给定一个 (N) 个点 (M) 条边的无向图，点编号为 (1) 到 (N) ，第 (i) 条边为 ((u_i, v_i)) ，权值为 (w_i) 。你可以进行一次操作，使得任意一条边的权值变成任意非负整数。要求进行尽量少的操作次数，使得点 (1) 到点 (N) 的最短路径长度变成 (c) 。

题目保证，(c) 小于在未进行任何操作之前的原图中 (1) 到 (N) 的最短路长度。

【 输入输出格式】

输入格式：

第一行三个整数，(N)，(M) 和 (c)，接下来M行，每行一条边的信息(u_i)，(v_i) 和 (w_i)，第 (i) 行的表述第 (i) 条边的信息。保证不会有自环存在，对于不同的 (i) 和 (j)，((u_i, v_i)) 不同于 ((u_j, v_j))。

输出格式：

一行一个整数，要进行最少多少次操作才能使得最短路长度变为 (c) 。

【输入输出样例】

输入样例：

3 3 3
1 2 3
2 3 3
1 3 8

输出样例：

1

【提示】

【样例说明】

将边 (1) ，(3) 的权值修改为 (2) 就可以了。

【数据范围】

(N≤100)

(M≤1000)

(0≤c≤100000)

(0≤wi≤10000)

(30\%) 数据满足 (M≤20)

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【标签】

图论，最短路。

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【分析】

类似于DP的单源最短路。

基本想法：

根据题意，可以贪心地想到：将尽可能少的边缩到长度为 (0) ，若此时最短路小于 (c) ，说明能够满足达到 (c) 。

改进：

设计状态 (Dis[i][j]) 表示从 (1) 出发到达 (i) ，已经有 (j) 条边被缩为 (0) 。跑最短路算法。

每次更新最短路时，分两种情况：

1. 直接到达目标点，最短路长度不增加（相当于通过一条长度为 (0) 的路径）。当前缩的路的数量(+1)；
2. 通过路径到达目标点，同正常的最短路写法；

算法结束时从 (Dis[n][1]) 到 (Dis[n][m]) 依次判断是否小于 (c)，第一个小于 (c) 的 (j)就是答案。

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【代码】

[C++]

#include <bits/stdc++.h>
#define P(a, b, c) (P){a, b, c}
using namespace std;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
struct T{int w, to;}E[2005];
struct P{
	int dis, cnt, id;
	bool operator<(const P &T)const{
		return dis > T.dis;
	}
};

int Dis[105][1005], n, m, c, Hed[105], Nex[2005], ct = 1;
bool F[105][1005];

void Add(int a, int b, int w){
	E[++ct].to = b, E[ct].w = w, Nex[ct] = Hed[a], Hed[a] = ct;
	E[++ct].to = a, E[ct].w = w, Nex[ct] = Hed[b], Hed[b] = ct;
}
void Dijkstra(){
	priority_queue<P> Q; Q.push(P(0, 0, 1));
	memset(Dis, INF, sizeof Dis);
	Dis[1][0] = 0; P k;
	while(!Q.empty()){
		k = Q.top(); Q.pop();
		F[k.id][k.cnt] = 1;
		for(int i=Hed[k.id]; i; i=Nex[i]){
			if(Dis[E[i].to][k.cnt] > Dis[k.id][k.cnt]+E[i].w){
				Dis[E[i].to][k.cnt] = Dis[k.id][k.cnt]+E[i].w;
				Q.push(P(Dis[E[i].to][k.cnt], k.cnt, E[i].to)); 
			}
			if(k.cnt<m && Dis[E[i].to][k.cnt+1]>Dis[k.id][k.cnt]){
				Dis[E[i].to][k.cnt+1] = Dis[k.id][k.cnt];
				Q.push(P(Dis[E[i].to][k.cnt+1], k.cnt+1, E[i].to)); 
			}
		}
		while(!Q.empty() && F[Q.top().id][Q.top().cnt]) Q.pop();
	}
}
int main(){
	int a, b, d;
	scanf("%d%d%d", &n, &m, &c);
	for(int i=1; i<=m; ++i){
		scanf("%d%d%d", &a, &b, &d);
		Add(a, b, d);
	}
	Dijkstra();
	for(int i=0; i<=m; ++i){
		if(Dis[n][i] <= c) 
			printf("%d", i), exit(0);
	}
	return 0;
}