回溯法，是一种常用的枚举求解子空间的一种思想。在搜索过程中尝试找到问题的解。如果将每个状态空间看作是一个结点，则回溯查找解路径的过程有点类似于图或者树的深度优先遍历。当未达到终点时，一直往下遍历，如果遇到这条路径无解，则回溯到上一个可行结点，再往其他方向搜索。
方法：联想到二叉树的深度优先遍历，可以规划成递归的形式，或者用栈保存求解路径。
下面通过一个迷宫寻路问题来归纳出比较通用的回溯法的步骤。
迷宫寻路问题：问题：给定一个迷宫，找到从入口到出口的所有可行路径，并给出其中最短的路径
分析：用二维数组来表示迷宫，则走迷宫问题用回溯法解决的的思想类似于图的深度遍历。从入口开始，选择下一个可以走的位置，如果位置可走，则继续往前，如果位置不可走，则返回上一个位置，重新选择另一个位置作为下一步位置。
N表示迷宫的大小，使用Maze[N][N]表示迷宫，值为0表示通道（可走），值为1表示不可走（墙或者已走过）；
Point结构体用来记录路径中每一步的坐标(x,y)
(ENTER_X,ENTER_Y) 是迷宫入口的坐标
(EXIT_X, EXIT _Y) 是迷宫出口的坐标
Path容器用来存放一条从入口到出口的通路路径
BestPath用来存放所有路径中最短的那条路径
1 #include <iostream> 2 #include <vector> 3 4 using namespace std; 5 6 typedef struct 7 { 8 int x; 9 int y; 10 }Point; 11 12 #define N 10 //迷宫的大小 13 #define ENTER_X 0 //入口的位置（0，0） 14 #define ENTER_Y 0 15 #define EXIT_X N-1 //出口的位置(N-1,N-1) 16 #define EXIT_Y N-1 17 18 19 int Maze[N][N]//定义一个迷宫，0表示通道，1表示不可走（墙或已走） 20 int paths; //路径条数 21 vector<Point> Path;//保存一条可通的路径 22 vector<Point> BestPath;//保存最短的路径 23 24 25 //初始化迷宫 26 void InitMaze() 27 { 28 <span style="white-space:pre"> </span>//简单起见，本题定义一个固定大小10*10的迷宫 29 <span style="white-space:pre"> </span>//定义一个迷宫，0表示通道，1表示墙(或不可走) 30 int mz[10][10]={ 31 {0,0,1,1,1,1,1,1,1,1}, //0 32 {1,0,0,1,1,0,0,1,0,1}, //1 33 {1,0,0,1,0,0,0,1,0,1}, //2 34 {1,0,0,0,0,1,1,0,0,1}, //3 35 {1,0,1,1,1,0,0,0,0,1}, //4 36 {1,0,0,0,1,0,0,0,0,1}, //5 37 {1,0,1,0,0,0,1,0,0,1}, //6 38 {1,0,1,1,1,0,1,1,0,1}, //7 39 {1,1,0,0,0,0,0,0,0,0}, //8 40 {1,1,1,1,1,1,1,1,1,0} //9 41 // 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 42 }; 43 44 //复制到迷宫 45 memcpy(Maze,mz,sizeof(mz)); 46 47 paths = 0; 48 } 49 50 //从(x,y)位置开始走；初始为(0,0) 51 bool MazeTrack(int x,int y) 52 { 53 /////////////////////////////////////// 54 //当前点加入到路径 55 bool hasPath = false; 56 Point p={x,y}; 57 58 if ( x < N && x>=0 && y<N && y>0 && Maze[x][y]==0) 59 { Path.push_back(p); 60 Maze[x][y] = 1; //设置为已走，不可走 61 62 //cout<<"来到("<<x<<","<<y<<")"<<endl; 63 64 //如果该位置是出口，输出结果 65 if(x == EXIT_X && y== EXIT_Y) 66 { 67 cout<<"找到一条道路"<<endl; 68 paths++; 69 hasPath = true; 70 71 72 //输出路径 73 vector<Point>::iterator it; 74 for(it=Path.begin();it!=Path.end();++it) 75 { 76 cout<<"("<<it->x<<","<<it->y<<") "; 77 } 78 cout<<endl; 79 80 //判断是否更优 81 if(BestPath.size()==0)//如果是找到的第一条路径，直接复制到最优路径 82 { 83 for(it=Path.begin();it!=Path.end();++it) 84 { 85 BestPath.push_back(*it); 86 } 87 88 } 89 else //不是第一条，则判断是否更短 90 { 91 //更短，复制到最优路径 92 if(Path.size()<BestPath.size()) 93 { 94 BestPath.clear(); 95 for(it=Path.begin();it!=Path.end();++it) 96 { 97 BestPath.push_back(*it); 98 } 99 } 100 } 101 102 return hasPath 103 } 104 105 /////////////////////////////////////// 106 //判断(x,y)位置的上、下、左、右是否可走 107 108 hasPath = MazeTrack(x-1,y) || MazeTrack(x+1,y) || MazeTrack(x,y-1) || MazeTrack(x,y+1) 109 110 if (!hasPath) 111 { 112 //返回上一步 113 Path.pop_back(); 114 Maze[x][y] = 0; //设置为未走 115 } 116 117 } 118 return hasPath 119 120 } 121 122 123 int main(int argc, char* argv[]) 124 { 125 //初始化迷宫 126 InitMaze(); 127 128 /* //显示迷宫 129 for(int i=0;i<N;++i){ 130 for(int j=0;j<N;++j) 131 cout<<Maze[i][j]<<" "; 132 cout<<endl; 133 }*/ 134 135 //回溯法走迷宫 136 MazeTrack(ENTER_X,ENTER_Y); 137 138 //显示最优的路径 139 cout<<"可行路径总条数为"<<paths<<"；最优路径为"<<endl; 140 vector<Point>::iterator it; 141 for(it=BestPath.begin();it!=BestPath.end();++it) 142 { 143 cout<<"("<<it->x<<","<<it->y<<") "; 144 } 145 cout<<endl; 146 return 0; 147 }
总结归纳一下回溯法求解路径的模板，如下：
1 using namespace std; 2 #define N 100 3 #define M 100 4 5 typedef struct 6 { 7 int x; 8 int y; 9 }Point; 10 11 vector<Point>solutionPath ; //存放有解的坐标路径 12 13 //主函数 x,y默认为起始结点，如(0,0), 得到从起始结点到目的结点的路径。 14 bool hasSolutionFunction( template<typename T>* Matrix , int x, int y) 15 { 16 17 bool *visited = new bool[M*N]; 18 memset (visited,0,M*N); //visited 存放每个结点是否被遍历，true为已经遍历过，false为否 19 20 res = hasSolutionCore(Matrix , x ,y) 21 cout<<solutionPath<<endl; 22 return res 23 24 } 25 26 //深度遍历求解路径的函数 27 bool hasSolutionCore(template<typename T>* Matrix , int x, int y) 28 { 29 30 hasSolution = false; 31 Point p = Point(x,y); 32 33 34 35 if (x,y) is terminal //x,y 已经是终止条件，当求解到这个结点是叶结点或目的地 36 { 37 solutionPath.push_back(p); 38 return true; 39 } 40 41 if ((x,y) && visited[x][y]==flase )// x,y是合法结点(具体条件可扩展)，且未被访问过 42 { 43 visited[x][y] = true; 44 solutionPath.push_back(p); 45 46 hasSolution = hasSolutionCore(Matrix,x-1, y) ||hasSolutionCore(Matrix,x,y-1)||... //如果不是叶结点，则该路径是否有解取决于其他方向的往后求解。 47 48 // x,y结点以下的所有子路径都无解，则回溯 49 if (!hasSolution) 50 { 51 visited[x][y] = false; 52 solutionPath.pop_back(); 53 } 54 55 } 56 return hasSolution; 57 58 }
#include <iostream> #include <vector> using namespace std; typedef struct { int x; int y; }Point; #define N 10 //迷宫的大小 #define ENTER_X 0 //入口的位置（0，0） #define ENTER_Y 0 #define EXIT_X N-1 //出口的位置(N-1,N-1) #define EXIT_Y N-1 int Maze[N][N]//定义一个迷宫，0表示通道，1表示不可走（墙或已走） int paths; //路径条数 vector<Point> Path;//保存一条可通的路径 vector<Point> BestPath;//保存最短的路径 //初始化迷宫 void InitMaze() { <span style="white-space:pre"> </span>//简单起见，本题定义一个固定大小10*10的迷宫 <span style="white-space:pre"> </span>//定义一个迷宫，0表示通道，1表示墙(或不可走) int mz[10][10]={ {0,0,1,1,1,1,1,1,1,1}, //0 {1,0,0,1,1,0,0,1,0,1}, //1 {1,0,0,1,0,0,0,1,0,1}, //2 {1,0,0,0,0,1,1,0,0,1}, //3 {1,0,1,1,1,0,0,0,0,1}, //4 {1,0,0,0,1,0,0,0,0,1}, //5 {1,0,1,0,0,0,1,0,0,1}, //6 {1,0,1,1,1,0,1,1,0,1}, //7 {1,1,0,0,0,0,0,0,0,0}, //8 {1,1,1,1,1,1,1,1,1,0} //9 // 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 }; //复制到迷宫 memcpy(Maze,mz,sizeof(mz)); paths = 0; } //从(x,y)位置开始走；初始为(0,0) bool MazeTrack(int x,int y) { /////////////////////////////////////// //当前点加入到路径 bool hasPath = false; Point p={x,y}; if ( x < N && x>=0 && y<N && y>0 && Maze[x][y]==0) {Path.push_back(p); Maze[x][y] = 1; //设置为已走，不可走 //cout<<"来到("<<x<<","<<y<<")"<<endl; //如果该位置是出口，输出结果 if(x == EXIT_X && y== EXIT_Y) { cout<<"找到一条道路"<<endl; paths++; hasPath = true; //输出路径 vector<Point>::iterator it; for(it=Path.begin();it!=Path.end();++it) { cout<<"("<<it->x<<","<<it->y<<") "; } cout<<endl; //判断是否更优 if(BestPath.size()==0)//如果是找到的第一条路径，直接复制到最优路径 { for(it=Path.begin();it!=Path.end();++it) { BestPath.push_back(*it); }
} else //不是第一条，则判断是否更短 { //更短，复制到最优路径 if(Path.size()<BestPath.size()) { BestPath.clear(); for(it=Path.begin();it!=Path.end();++it) { BestPath.push_back(*it); } } }return hasPath} /////////////////////////////////////// //判断(x,y)位置的上、下、左、右是否可走 hasPath = MazeTrack(x-1,y) || MazeTrack(x+1,y) || MazeTrack(x,y-1) || MazeTrack(x,y+1) if (!hasPath){//返回上一步 Path.pop_back(); Maze[x][y] = 0; //设置为未走 }}return hasPath
} int main(int argc, char* argv[]) { //初始化迷宫 InitMaze(); /* //显示迷宫 for(int i=0;i<N;++i){ for(int j=0;j<N;++j) cout<<Maze[i][j]<<" "; cout<<endl; }*/ //回溯法走迷宫 MazeTrack(ENTER_X,ENTER_Y); //显示最优的路径 cout<<"可行路径总条数为"<<paths<<"；最优路径为"<<endl; vector<Point>::iterator it; for(it=BestPath.begin();it!=BestPath.end();++it) { cout<<"("<<it->x<<","<<it->y<<") "; } cout<<endl; return 0; }