快速幂学习笔记

快速幂

1. 快速幂代码

int Fastmi(int a,int b,int p)
{
	int ans = 1 % p;
	for(; b; b >>= 1)
	{
		if(b & 1) ans = (long long)ans * a % p;
		a = (long long)a * a % p;
	}
	return ans;
}

2. 快速幂的数学原理？
   若(b)在二进制下有(k)位，第(i)位的数字是(c_i)，则每一个正整数都可以唯一表示为若干个指数不重复的(2)的次幂的形式：

[b = c_{k-1}2^{k-1} + c_{k-2}2^{k-2} + cdots + c_{0}2^{0} ]

(a^b)可以如此表示：

[a^b = a^{c_{k-1}2^{k-1}} * a^{c_{k-2}2^{k-2}} * cdots * a^{c_{0}2^{0}} ]

每次循环我们都将(a)平方，这样(2)的次幂将被表示出来，即从(2^0)一直到(2^{k-1})。我们将b在二进制下的每一位取出，若是1，则说明这一项(c_i)不为(0)，将乘积累乘到ans当中去；若是0，则(c_i)为(0),则ans的值不变。(b)&(1)运算可以取出(b)在二进制下的最低位（这也是为什么我们要从(2^0)一直累乘到(2^{k-1})的原因），而(b>>1)运算可以遍历(b)在二进制下的所有数位。
3. 快速幂的时间复杂度？
整个算法的时间复杂度为(O(log_2b))，比起只有(O(n))的pow不知道高到哪里去了。