乘法逆元

乘法逆元

1. 什么是乘法逆元
   如果(ax equiv 1 pmod{p}),且(gcd(a,p)=1)（(a)与(p)互质），则称(a)关于模(p)的乘法逆元为(x)。（感觉就是(a)的倒数）
2. 乘法逆元用来干什么
   模运算符合以下分配律：

[(a+b) mod p = (a mod p + b mod p)mod p ]

[(a-b) mod p = (a mod p - b mod p)mod p ]

[(a*b) mod p = (a mod p + b mod p)mod p ]

[(a oplus b) mod p = ((a mod p) oplus b)mod p ]

       但是取模运算不符合除法分配律，于是就要先求分母的倒数（不严谨，但是这里可以这么理解），然后再用乘法去算。
3. 如何求乘法逆元
结合费马小定理

[a^{p-1} equiv 1 pmod p ]

代入得

[ax equiv a^{p-1} pmod p ]

[x equiv a^{p-2} pmod p ]

然后用快速幂算一下就好
4. 没什么例题，但是要提一下洛谷P3811
这个题用快速幂去做，时间复杂度为(O(nlogn))，题目要求O(n)，就要去推递推式：
我们知道

[1^{-1} equiv 1 pmod p ]

设(p = k * i + r)，也就是(k)是(p/i)得商，(r)为余数。
在(mod p)的意义下

[k * i + r equiv 0 pmod p ]

然后乘上(r^{-1})，(i^{-1})后得

[i^{-1} equiv -k*r^{-1}pmod{p} ]

将(k)换掉（(1 < r < i < p)）：

[i^{-1} equiv lfloor frac{p}{i} floor * (p mod i)^{-1} pmod{p} ]

然后就得到了(1 sim n)的逆元

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 3 * 1e6 + 10;
int f[N];
int n,p;
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&p); 
	f[1] = 1;
	puts("1");
	for(int i = 2;i <= n;i ++ )
	{
		f[i] = (long long)(p - p / i) * f[p % i] % p;
		printf("%d
",f[i]);
	}
	return 0;
}

下一个坑应该是拉格朗日插值（