今天和人谈起了傅立叶变换，被问到为什么有负频率，加上之前也被问到过相位谱是个什么东西，为什么傅立叶变换的结果是复数，等等问题。于是想把相关的概念写下来，供大家参考。还是老样子，这里的叙述只为说明概念，并不严谨。
以 ( T ) 为周期的函数 ( c(t) ) 可以由 ( e^{ikomega t} (k in mathbb{Z}, omega=frac{2pi}{T}) ) 函数族展开，即
$$ c(t) = sum_{k=-infty}^{+infty} c_k e^{ikomega t} $$
而
$$ c_k = frac{1}{T}int_0^Tc(t)e^{-ikomega t}dt $$
关于正、负频率系数之间的关系
因为 (e^{i t} = cos(t) + i sin(t)) ，我们把 ( c_k ) 的计算公式展开为
$$ c_k = frac{1}{T}int_0^Tc(t)[cos(-komega t) + i sin(-komega t)] dt = frac{1}{T}int_0^Tc(t)[cos(komega t) - i sin(komega t)] dt$$
同样可以得到
$$ c_{-k} = frac{1}{T}int_0^Tc(t)[cos(komega t) + i sin(komega t)] dt $$
对比可知( c_k )和( c_{-k} )其实是一对共轭复数，我们记 ( c_k = a + i b) ，则 ( c_{-k} = a - i b )。
考察 ( c(t) ) 展开式中的求和
$$ c(t) = sum_{k=-infty}^{+infty} c_k e^{ikomega t} = c_0 + sum_{k = 1}^{+infty}(c_k e^{ikomega t} + c_{-k} e^{-ikomega t})$$
而
$$ c_k e^{ikomega t} + c_{-k} e^{-ikomega t} = (a + i b)(cos(komega t) + i sin(komega t)) + (a - i b)(cos(-komega t) + i sin(-komega t))$$
记 ( heta = komega t)，则上式整理后可以得到
$$ c_k e^{ikomega t} + c_{-k} e^{-ikomega t} = 2[a cos( heta) - b sin( heta) ] $$
不要在意中间是负号，如果当初我们记 ( c_k = a - i b)，这里就是完美的正号了。
于是
$$ c(t) = c_0 + 2 sum_{k = 1}^{+infty}( a_k cos( heta_k) - b_k sin( heta_k) )$$
到这里，你应该明白了，所谓正负频率，不过是因为我们采用了复指数（就是那个 ( e^{it} ) 表示而产生的结果罢了——要想把( cos(t), sin(t) )表示成一个东西，总要付出些代价的。
好吧，一句话，根本就没有负频率，马甲而已！
相位谱
上面我们得到了
$$ c(t) = c_0 + 2 sum_{k = 1}^{+infty}( a_k cos( heta_k) - b_k sin( heta_k) )$$
如果我们取 ( r_k = sqrt{a_k^2 + b_k^2})，则上式可以整理成
$$c(t) = c_0 + 2 sum_{k = 1}^{+infty}r_k( frac{a_k}{r_k} cos( heta_k) - frac{b_k}{r_k} sin( heta_k) ) = c_0 + 2 sum_{k = 1}^{+infty}r_k cos( heta_k + phi_k) $$
其中 ( phi_k = tan^{-1}(frac{b_k}{a_k}))，上式中最后一步是由两角和的余弦公式整理得到的。
如果这时我们把 ( r_k ) 称为振幅谱，把 ( phi_k ) 称为相位谱，你还觉得奇怪吗？