8行代码解决约瑟夫问题

首先是问题描述：

约瑟夫斯问题（有时也称为约瑟夫斯置换），是一个出现在计算机科学和数学中的问题。在计算机编程的算法中，类似问题又称为约瑟夫环。

有个囚犯站成一个圆圈，准备处决。首先从一个人开始，越过个人（因为第一个人已经被越过），并杀掉第k个人。接着，再越过个人，并杀掉第k个人。这个过程沿着圆圈一直进行，直到最终只剩下一个人留下，这个人就可以继续活着。

问题是，给定了和，一开始要站在什么地方才能避免被处决？

                                                                                                                                                                                                                                                 --摘自维基百科

这么说可能比较抽象，我们举个例子：

当n=5，k=3时，我们假设这5个人的序号分别为1、2、3、4、5。那么依次被杀掉的人是3、1、5、2，最后活下来的是4。

接下来我们分析一下问题：

我们先来做些准备工作：

1.  我们把这个问题记为 f 。 f(n, k) 为问题的解。其中参数 n 和 k 的含义与问题描述中的一致。n 个人的序号分别为1、2、3...n。我们会得到最后剩下那个人的序号。

2.  因为这个问题操作起来是环形的，所以我们可以这么认为：

        序号 0 和序号 n 是一样的、序号 -1 和序号 (n-1)  是一样的、 序号 -2 和序号 (n-2) 是一样的...

        同样，序号 (n+1)  和序号 1 是一样的、 序号 （n+2） 和序号 2 是一样的...

        也就是说，对 n 求模相等的数指向的是同一个人。但在给出最终结果时我们会进行处理，将结果映射在整数区间[1, n]内 。

3.  对于给定的 n 和 k，第一个被杀掉的人是 k 。（k 有可能大于 n，但根据“准备工作2”，k 同样会指向正确的那个人）

4.  f（1， 1） = 1。

5.  将一个数 m， 按照“准备工作2”中的规则映射到整数区间[1, n]内可以这样操作： （m - 1）%n + 1 

准备工作完毕。

下面开始正式分析：

我们可以根据 f（n-1， k）来快速得到 f（n， k）：

    我们固定 k 值不变。

    假设 f（n-1， k） = r， 也就是说有 （n-1） 个人时， 活下来的那个人到起点的距离是 （r-1）。（起点那个人序号为1）

    那么，当人数为 n 时， 我们可以先杀掉一个人让人数变为 （n-1）。根据准备工作中的第三条，我们第一步先杀掉 k。这时新的起点变为了 （k+1），人数变为了 （n-1），活下来的那个人为 （k+1） + （r-1）， 也就是 （f（n-1， k） + k）。

    我们还要把这个结果处理一下，根据“准备工作5”，处理后的结果为： （f（n-1， k） + k - 1）%n + 1

    最终得到的是： f（n， k） = （f（n-1， k） + k - 1）%n + 1

分析完毕。

最后用一种你喜欢的语言来实现你的分析结果：

f（1， 1） = 1；

 f（n， k） = （f（n-1， k） + k - 1）%n + 1；

这个就很简单了，你可以用递归，也可以用循环。用递归写起来简单，但执行起来比较消耗资源；循环相反。

我在这里用scheme的尾递归实现。简单提一下scheme的尾递归，它书写上是递归的形式，但执行时解释器做了优化，不会保存上次的调用栈（因为这在尾递归中是不必要的），所以采用尾递归可以既写起来简单又不会太消耗资源。

#lang scheme
(define (f n k)
  (define (f-iter result counter)
    (if (> counter n)
        result
        (f-iter (add1 (modulo (+ result k -1) counter))
                (add1 counter))))
  (f-iter 1 2))

运行示例：

> (f 5 3)
4

短短的几行代码就把问题解决了。这也告诉了我们在写代码前要先做两件事：

    1.  将问题分析透彻，减少不必要的计算量，也就是降低时间复杂度，节约计算机的时间。比如这个问题你也可以不用分析，直接让计算机去傻瓜式地挨个数，一直数到只剩最后一个。可能问题规模不大时，这种方法你还能忍受，一旦问题规模加大，线性时间复杂度和指数时间复杂度的区别还是挺大的。

    2.  选择一门合适的计算机语言，尽量快地完成任务，也就是节约自己的时间。同样的问题你也可以选择c语言，java或者其它，但我认为在这个问题的解决上scheme无疑是最优秀的。

PS：

也许对上面的结果还不太满意，因为上面只给出了最后剩下的人，你可能还想知道这些人的死亡顺序。我可以给出我写的升级版程序：

#lang scheme
(define (advanced-f prisoners k)
  (define (new-list lst p)
    (append (list-tail lst (add1 p)) (take lst p)))
  (let* ((len (length prisoners))
         (pos (modulo (- k 1) len)))
    (if (= len 1)
        (display prisoners)
        (begin 
          (display (list-ref prisoners pos))
          (display " ")
          (advanced-f (new-list prisoners pos) k)))))

运行示例：

> (advanced-f   '(1 2 3 4 5)   3)
3 1 5 2 (4)

同样用的scheme，同样只用了简短的几行代码就解决了问题。至于采用了什么方法，我只简单说几句就不再详细描述了。

advanced-f 函数每次只杀掉一名囚犯并打印出来，然后以这名囚犯为界将囚犯列表分为头尾两部分，头部接到尾部上生成新的囚犯列表。将新列表带入下一次操作。直到列表只剩一个人。

结束。

如果程序有什么错误，请大家不吝指出，我也及时更正。