同步：https://buringstraw.win/index.php/archives/24/
题目：有趣的数列
描述
我们称一个长度为2n的数列是有趣的，当且仅当该数列满足以下三个条件：
(1)它是从1到2n共2n个整数的一个排列{Ai}；
(2)所有的奇数项满足A1<A3<…<A2n-1，所有的偶数项满足A2<A4<…<A2n；
(3)任意相邻的两项A2i-1与A2i(1≤i≤n)满足奇数项小于偶数项，即：A2i-1<A2i。
现在的任务是：对于给定的n，请求出有多少个不同的长度为2n的有趣的数列。因为最后的答案可能很大，所以只要求输出答案 mod P的值。
輸入
用空格隔开的两个整数 n 和 P。
輸出
仅含一个整数，表示不同的长度为2n的有趣的数列个数mod P的值
輸入範例 1
3 10
輸出範例 1
5
輸入範例 2
10 1013
輸出範例 2
588
輸入範例 3
675546 14358205
輸出範例 3
1511390
提示
对于样例1：对应的5个有趣的数列分别为
（1,2,3,4,5,6），（1,2,3,5,4,6），（1,3,2,4,5,6），（1,3,2,5,4,6），（1,4,2,5,3,6）。
50%的数据满足n≤1000 ，100%的数据满足n≤1000000且P≤1000000000。
思路
首先发现它是个卡特兰数
-
硬算前几项的数字规律（我是这样做的）
-
可以转换为一个典型的卡特兰数的例子：
n个数排成两行，使右边都大于左边，后边都大于前边，求排法数量
将奇数看成第一行，将偶数看成第二行即可。
然后发现数据很大，递推式都有除法，p也不是质数不能用逆元（虽然我也不回逆元我太弱了）
所以要用这个通项式
[f(n)=frac{Cegin{matrix}
n\
2n
end{matrix}}{n+1}
]
化一下
[f(n)=frac{Cegin{matrix}
n\
2n
end{matrix}}{n+1}
\
=frac{(2n)!}{n!cdot n!cdot (n+1)}\
=frac{(2n)!}{n!cdot (n+1)!}
]
这样化的作用是可以用特殊的方法约分
枚举1~2n的所有素数
然后分别计算(n,(n+1),2n)中那个素数的次数(cnt1,cnt2,cnt3)
再往答案中加乘上(primes_i^{(cnt3-cnt2-cnt1)})就好了
注意这里是乘不是加我就是这样错的
Code
//I closed myself.What a happy zero-boomed contest!!!
//上一行是考试自闭的时候写的不要管
//(2n)!/(n!*n!*(n+1))
#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
using namespace std;
const LL MAXN=1000000+5;
LL n,p,cnt;
bool v[MAXN];
LL primes[2*MAXN];
bool isHeshu[2*MAXN];
LL oula(LL x);//质数筛
LL qkpow(LL x,LL y);//快速幂
int main(){
// freopen("LLeresting.in","r",stdin);
// freopen("LLeresting.out","w",stdout);
scanf("%d%d",&n,&p);
oula(2*n);
LL ans=1;
for(LL i=1;i<=cnt;++i){
LL cnt1=0,cnt2=0,cnt3=0;
LL pm=primes[i];
while(pm<=2*n){
cnt1+=n/pm;
cnt2+=(n+1)/pm;
cnt3+=2*n/pm;
pm*=primes[i];//当前质因子次数+1
}
LL sl=cnt3-cnt1-cnt2;
ans*=qkpow(primes[i],sl);
ans%=p;
}
printf("%lld
",ans);
// fclose(stdin);
// fclose(stdout);
return 0;
}
LL oula(LL x){
for(LL i=2;i<=x;++i){
if(!isHeshu[i]){
primes[++cnt]=i;
}
for(LL j=1;primes[j]*i<=x;++j){
isHeshu[primes[j]*i]=1;
if(i%primes[j]==0)break;
}
}
}
LL qkpow(LL x,LL y){
LL sum=x;
LL ret=1;
while(y){
if(y&1){
ret=ret*sum%p;
}
sum=sum*sum%p;
y>>=1;
}
return ret;
}