[NOI2010]能量采集 解题报告

[NOI2010]能量采集

题目描述

栋栋有一块长方形的地，他在地上种了一种能量植物，这种植物可以采集太阳光的能量。在这些植物采集能量后，栋栋再使用一个能量汇集机器把这些植物采集到的能量汇集到一起。

栋栋的植物种得非常整齐，一共有(n)列，每列有(m)棵，植物的横竖间距都一样，因此对于每一棵植物，栋栋可以用一个坐标((x, y))来表示，其中(x)的范围是(1)至(n)，表示是在第(x)列，(y)的范围是(1)至(m)，表示是在第(x)列的第(y)棵。

由于能量汇集机器较大，不便移动，栋栋将它放在了一个角上，坐标正好是((0,0))。

能量汇集机器在汇集的过程中有一定的能量损失。如果一棵植物与能量汇集机器连接而成的线段上有(k)棵植物，则能 量的损失为(2k + 1)。例如，当能量汇集机器收集坐标为((2, 4))的植物时，由于连接线段上存在一棵植物((1, 2))，会产生(3)的能量损失。注意，如果一棵植物与能量汇集机器连接的线段上没有植物，则能量损失为(1)。现在要计算总的能量损失。

下面给出了一个能量采集的例子，其中(n = 5)，(m = 4)，一共有(20)棵植物，在每棵植物上标明了能量汇集机器收集它的能量时产生的能量损失。

在这个例子中，总共产生了(36)的能量损失。

输入输出格式

输入格式：

仅包含一行，为两个整数(n)和(m)。

输出格式：

仅包含一个整数，表示总共产生的能量损失。

说明

对于(10\%)的数据：(1 ≤ n, m ≤ 10)；
对于(50\%)的数据：(1 ≤ n, m ≤ 100)；
对于(80\%)的数据：(1 ≤ n, m ≤ 1000)；
对于(90\%)的数据：(1 ≤ n, m ≤ 10,000)；
对于(100\%)的数据：(1 ≤ n, m ≤ 100,000)。

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题意：求

[sum_{i=1}^nsum_{j=1}^m2 imes gcd(i,j)-1 ]

直接暴力推式子了

[sum_{i=1}^nsum_{j=1}^mgcd(i,j) ]

[=sum_{k=1}^{min(n,m)}ksum_{i=1}^nsum_{j=1}^m[gcd(i,j)=k] ]

设(a=lfloorfrac{n}{k} floor,b=lfloorfrac{m}{k} floor)

[=sum_{k=1}^{min(n,m)}ksum_{i=1}^asum_{j=1}^b[gcd(i,j)=1] ]

[=sum_{k=1}^{min(n,m)}ksum_{i=1}^asum_{j=1}^bsum_{d|gcd(i,j)}mu(d) ]

[=sum_{k=1}^{min(n,m)}ksum_{i=1}^asum_{j=1}^bsum_{d=1}^{min(i,j)}mu(d)[d|gcd(i,j)] ]

[=sum_{k=1}^{min(n,m)}ksum_{d=1}^{min(a,b)}mu(d)sum_{i=1}^asum_{j=1}^b[d|gcd(i,j)] ]

[=sum_{k=1}^{min(n,m)}ksum_{d=1}^{min(a,b)}mu(d)lfloorfrac{a}{d} floorlfloorfrac{b}{d} floor ]

到这里虽然不够优，但是显然已经可以了。

复杂度:(O(sumlimits_{i=1}^ni^{frac{1}{2}}))其实就是(O(nsqrt n))

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Code:

#include <cstdio>
#define ll long long
const int N=1e5;
ll ans=0;
int mu[N+10],pri[N+10],ispri[N+10],cnt;
void init()
{
    for(int i=2;i<=N;i++)
    {
        if(!ispri[i])
        {
            mu[i]=-1;
            pri[++cnt]=i;
        }
        for(int j=1;j<=cnt&&pri[j]*i<=N;j++)
        {
            ispri[i*pri[j]]=1;
            if(i%pri[j]==0) break;
            else mu[i*pri[j]]=-mu[i];
        }
    }
    mu[1]=1;
    for(int i=2;i<=N;i++) mu[i]+=mu[i-1];
}
int n,m;
int min(int x,int y){return x<y?x:y;}
int main()
{
    init();
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int k=1;k<=min(n,m);k++)
    {
        int a=n/k,b=m/k;
        ll sum=0;
        for(int l=1,r;l<=min(a,b);l=r+1)
        {
            r=min(a/(a/l),b/(b/l));
            sum+=1ll*(mu[r]-mu[l-1])*(a/l)*(b/l);
        }
        ans+=sum*k;
    }
    printf("%lld
",ans*2ll-1ll*n*m);
    return 0;
}

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2018.10.21