离散型随机变量

1. 随机变量是试验结果的函数

    因为随机变量的取值由试验结果决定，因此随机变量的取值也是“概率”的。

    分布函数F(x)=P{X≤x}

    分布列p(a)=P{X=a}

2. Σxⁱ/i! = e^x  ( i∈[0, ∞) )

3. 随机变量X的方差Var(X)=E[(x-μ)²]=E[X²]-E[X]²

    随机变量的期望-和-随机变量函数的期望

    E[X]     = ∑     x_i·p(x_i)

    E[g(X)] = ∑ g(x_i)·p(x_i)

4. Var(aX+b)=a²Var(X)

5. 标准差SD(X)=sqrt(Var(X))

6. 伯努利随机变量

    P{X=0}=1-p

    P{X=1}=p

7. 独立重复试验n次，每次成功概率p，失败概率1-p，那么成功次数X服从参数为(n,p)的二项随机分布：

    p(i)=C(n, i)pⁱ(1-p)^n-i

8. 如果X是一个参数为(n,p)的二项随机变量，那么：

    E[X]=np

    Var(X)=np(1-p)

9. 如果X是一个参数为(n,p)的二项随机变量(0<p<1)，那么当k从0到n时，P{X=k}一开始单调递增，然后一直单独递减，且在k=[(n+1)p]时取最大值（k=小于等于(n+1)p的最大整数）。

10. 参数为λ的泊松随机变量满足p(i)=P{X=i}=e^-λ·λⁱ/i!

       当n足够大，p充分小，np大小适当时，以(n,p)为参数的二项随机变量可近似看作泊松分布，其参数λ=np。即，参数为np的泊松分布是对成功概率为p的n次独立重复试验的成功次数的近似。n越大，p越小，近似性越好。

11. 泊松随机变量的期望和方差都等于其参数λ。

12. 几何随机变量：独立重复试验，每次成功率p(0<p<1)，直到试验成功。以X表示需要试验次数，那么：

      P{X=n}=(1-p)^n-1p

      解释：第n次才成功，说明前n-1次全部失败。

13. 几何随机变量E[X]=1/p，Var(X)=(1-p)/p²

14. 负二项分布：独立重复试验，每次成功率p(0<p<1)，直到试验成功r次，以X表示此时试验总次数。

      P{X=n}=C(n-1,r-1)p^r(1-p)^n-r

      解释：第n次试验是第r次成功(p)，因此前n-1次试验有n-1次成功( C(n-1,r-1)p^r-1(1-p)^n-r )。

15. 几何随机变量就是参数为(1,p)的负二项随机变量。

16. 超几何随机变量：总共N个样本中，有m个符合设定的条件。从N个样本中随机取出n个，以X表示取出样本中符合设定条件的样本数，那么X符合以(n,N,m)为参数的超几何分布：

      P{X=i} = C(m,i)·C(N-m,n-i) / C(N,n)

      当m和N相对于i和n来说都很大时，超几何随机变量可用参数为(n, m/N)的二项变量来近似。

17. 超几何随机变量的期望和方差：

       E[X]=nm/N    （解释：单个样本符合条件的概率为m/N，n个样本的期望为nm/N）

       Var(X)=np·(1-p)·(1-(n-1)/(N-1))

18. 如果X是一个离散随机变量，其可能取值为x_i，相应取值概率为p(x_i)，那么对任意实值函数g，都有

      E[g(X)]=∑g(x_i)p(x_i)

19.