群延迟与广义线性相位

如果说相移描述的是一个系统中[相位变化]与[频率]的关系，那么群延迟描述的就是系统中[时延]与[频率]的关系。

对于线性相位，相移为-ωn_d，于是群延迟就是-d(-ωn_d)/dω=n_d，即等时延。相应的频率-相位曲线是过坐标原点的直线。

对于非线性相位，总体上相位非线性（不等时延），但在某个频率ω₀附近的相移可近似认为是线性的（等时延），于是在该频率附近就有≮H(e^jω)=-φ₀－ωn_d。相应的，在该频率附近的频率-时延曲线近似直线但一般而言不过坐标原点。

这样，在ω₀附近的频率就具有等时延。例如，对于一个将低频通过载波调制到高频（ω₀）的系统，可认为被调制信号在调制后（ω₀附近）是等时延的。

“群”的意思是说，对一个系统而言，若输入是在某个（中心）频率附近的窄带信号，那么输出是近似等时延（线性相位）的；但如果输入的是两个不同中心频率的信号，那么输出时延可能有比较大的区别（非线性相位），甚至会造成两个中心频率不同的信号在经过系统之后，在时间轴上“倒置”了。这样，不同中心频率就构成了不同的“频率群”。可参考《离散时间信号处理》中的例子。

广义线性相位条件下，H(ejω)可表示为A(e^jω)e^-jωα+jβ，其中β为常数或分段常数。最简单的广义线性相位系统就是反相器，它不是等时移的（然而反相后再看又是等时移的）。更一般的较常见的例子就是四类FIR系统。例如一个I类FIR系统h[n]=[1 1 1 1 1]：

H(e^jω)=e^-jω2[sin(5ω/2) / sin(ω/2)]

ω在[0, 2π/5]区间时，[sin(5ω/2) / sin(ω/2)]为正，于是广义线性相位条件中的A(e^jω)>0，β=0；但ω在[2π/5, 4π/5]区间时，[sin(5ω/2) / sin(ω/2)]为负，于是广义线性相位条件中的β=π，或认为A(e^jω)<0，落在这段频率区间内的信号通过该系统后会有π的附加相移，即不再是等时移的。但若忽略掉2π/5以及所有其他点上的相位突变，在整个频率范围内群延迟将是常数2，因此群时延并不总是代表时移，它去除了附加相移。另一方面，具有恒定群时延的某个“频率群”，不会改变该频率群内信号的包络形状（？），因此群时延有时候也叫包络时延。

各类FIR系统的零点

I类：h[n]长度为奇数，偶对称。没啥特别要说的。

II类：h[n]长度为偶数，偶对称。例如这个系统和这个输入：

       h：[ a  b  b  a]

       x：[-1 +1 -1 +1]

       如上，由于h[n]长度为偶数且偶对称，那么对于-1和+1交错的输入信号（e^jπ，数字域最高频率）来说，输出一定为0，因此这样的系统必有零点在z=-1。于是II类系统永不能用于高通。

III类：h[n]长度为奇数，奇对称。于是中间值必定为0。对于这个系统和这个输入：

       h： [-a -b  0  b  a]

       x1：[ 1  1  1  1  1]

       x2：[-1 +1 -1 +1 -1]

       如上，系统必有零点在z=1和z=-1。于是III类系统只能用于带通。

IV类：h[n]长度为偶数，奇对称。

       h： [-a -b  b  a]

       x： [ 1  1  1  1]

        如上，系统必有零点在z=1。于是IV类系统永不能用于低通。