信号、系统与信号处理边角杂谈

1. 连续时间信号的傅里叶变换一般写为X(jω)，而离散时间信号的傅里叶变换一般写为X(e^jω)：

    第一个原因是，连续时间信号傅里叶定积分中的e^jωt最终会运算成ω，而离散时间信号傅里叶累加中的e^jωn最终会运算成e^jω。

    第二个原因是，将jω直接替换为s就在形式上得到Laplas变换，将e^jω直接替换为z就在形式上得到z变换。

2. 时间尺度变换 x₂(t)=x₁(2t)

    x₁(2t)可理解为以2倍速播放x1(t)，所以对应波形在时间轴上压缩。

3. 因式(1-az^-1)=(z-a)/z既引入了一个极点（z=0），又引入了一个零点（z=a）。

    反之，1/(1-az^-1)引入了一个零点z=0和一个极点z=a。

4. 因为FIR的脉冲响应是有限长，所以总是可以非递归实现的；

   其次，也可以用递归系统来实现它。

   以滑动平均做例子，最直观的想法就是，每次来一个新的值，丢掉最老的，加上最新的：

   y[n]=y[n-1] - x[n-N]/N + x[n]/N

5. 最简单的广义线性相位系统就是反相器：

    H(e^jω)=e^jπ

    除了一些特殊的信号（如单频信号、正负幅值对称的方波或三角波等），一般来说你无法将反相器的输出通过移位的形式重合到原有信号上，即广义线性相位系统不是等时延的。

6. 过冲

    FIR滤波的过冲并不总是存在；例如滑动平均[0.5 0.5]就不存在过冲。简单来说，如果滤波器系数总是大于0，那么滤波后信号将是输入信号的凸组合（滤波器系数和为1，且非负）。然而满足该条件的滤波器系数难以达到锐截止，所以一般来说实用上的FIR总是有过冲的。

7. 乘积与卷积

7.1 连续时间周期信号

     时域乘积 <=> 频域卷积（从综合式子就可以推出来）

7.2 离散时间周期信号

     时域乘积 <=> 频域周期卷积

     时域周期卷积 <=> 频域乘积

7.3 连续时间非周期信号

     时域乘积 <=> 频域卷积

     时域卷积 <=> 频域乘积

7.4 离散时间非周期信号

    时域卷积 <=> 频域乘积

    时域乘积 <=> 频域周期卷积

7.5 一般形式的parseval定理

     $A(x)=sumlimits_{n=-infty}^{infty}a_ne^{inx}$

     $B(x)=sumlimits_{n=-infty}^{infty}b_ne^{inx}$

     $sumlimits_{n=-infty}^{infty}a_nb_n^*=frac{1}{2pi}int_{-pi}^{pi}A(x)B^*(x)dx$