树状数组 --区间查询+区间修改

【问题引入】

对于区间修改、区间查询这样的简单问题，打一大堆线段树确实是不划算，今天来介绍一下区间查询+区间修改的树状数组

【一些基础】

树状数组的基本知识不再介绍，请自行百度

我们假设sigma(r，i)表示r数组的前i项和，调用一次的复杂度是log2(i)

设原数组是a[n]，差分数组c[n]，c[i]=a[i]-a[i-1]，那么明显地a[i]=sigma(c,i)，如果想要修改a[i]到a[j](比如+v)，只需令c[i]+=v,c[j+1]-=v

【今天的主要内容】

我们可以实现NlogN时间的“单点修改，区间查询”，“区间修改，单点查询”，其实后者就是前者的一个变形，要明白树状数组的本质就是“单点修改，区间查询”

怎么实现“区间修改，区间查询”呢？

观察式子：（先想想差分）
a[1]+a[2]+...+a[n]

= (c[1]) + (c[1]+c[2]) + ... + (c[1]+c[2]+...+c[n]) 

= n*c[1] + (n-1)*c[2] +... +c[n]

= n * (c[1]+c[2]+...+c[n]) - (0*c[1]+1*c[2]+...+(n-1)*c[n])    (式子①)

那么我们就维护一个数组c2[n]，其中c2[i] = (i-1)*c[i]

每当修改c的时候，就同步修改一下c2，这样复杂度就不会改变

那么

式子①

=n*sigma(c,n) - sigma(c2,n)

于是我们做到了在O(logN)的时间内完成一次区间和查询

一件很好的事情就是树状数组的常数比其他NlogN的数据结构小得多，实际上它的计算次数比NlogN要小很多，再加上它代码短，是OI中的利器

【题目】

CodeVS 1082 线段树练习3（点击）

【代码】

//树状数组(升级版)
#include <cstdio>
#define lowbit(x) (x&-x)
#define ll long long
#define maxn 200010
using namespace std;
ll n, q, c1[maxn], c2[maxn], num[maxn];
void add(ll *r, ll pos, ll v)
{for(;pos<=n;pos+=lowbit(pos))r[pos]+=v;}
ll sigma(ll *r, ll pos)
{
	ll ans;
	for(ans=0;pos;pos-=lowbit(pos))ans+=r[pos];
	return ans;
}
int main()
{
	ll i, j, type, a, b, v, sum1, sum2;
	scanf("%lld",&n);
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%lld",num+i);
		add(c1,i,num[i]-num[i-1]);
		add(c2,i,(i-1)*(num[i]-num[i-1]));
	}
	scanf("%lld",&q);
	while(q--)
	{
		scanf("%lld",&type);
		if(type==1)
		{
			scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&v);
			add(c1,a,v);add(c1,b+1,-v);
			add(c2,a,v*(a-1));add(c2,b+1,-v*b);
		}
		if(type==2)
		{
			scanf("%lld%lld",&a,&b);
			sum1=(a-1)*sigma(c1,a-1)-sigma(c2,a-1);
			sum2=b*sigma(c1,b)-sigma(c2,b);
			printf("%lld
",sum2-sum1);
		}
	}
	return 0;
}