BZOJ 1597: [Usaco2008 Mar]土地购买

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Description

农夫John准备扩大他的农场,他正在考虑N (1 <= N <= 50,000) 块长方形的土地. 每块土地的长宽满足(1 <= 宽 <= 1,000,000; 1 <= 长 <= 1,000,000). 每块土地的价格是它的面积,但FJ可以同时购买多快土地. 这些土地的价格是它们最大的长乘以它们最大的宽, 但是土地的长宽不能交换. 如果FJ买一块3x5的地和一块5x3的地,则他需要付5x5=25. FJ希望买下所有的土地,但是他发现分组来买这些土地可以节省经费. 他需要你帮助他找到最小的经费.

Input

* 第1行: 一个数: N

* 第2..N+1行: 第i+1行包含两个数,分别为第i块土地的长和宽

Output

* 第一行: 最小的可行费用.

Sample Input

4
100 1
15 15
20 5
1 100

输入解释:

共有4块土地.

Sample Output

500

HINT

FJ分3组买这些土地: 第一组:100x1, 第二组1x100, 第三组20x5 和 15x15 plot. 每组的价格分别为100,100,300, 总共500.

Source

Gold

首先有一些土地如果有长和宽同时比它的话那么它就可以被忽略，所以我们可以直接将原本的数组以a为第一关键字，以b为第二关键字降序排序。

之后用一个单调栈放入。原因是已经在栈中的元素的a值必然比后放入的大或相等，所以如果b值还比栈中元素小那么它应该被忽略。

所以O(n^2)的dp方程是：f[i]=min(f[j]+x[j+1].a*x[i].b);(0<=j<i)

设j<k，j比k优则(f[j]-f[k])/(x[k+1].a-x[j+1].a)>x[i].b

维护下凸壳即可

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=50005;
typedef long long ll;
struct X
{
    int a,b;
}x[N];
ll f[N];
int q[N];
bool cmp(const X &t1,const X &t2)
{
    return t1.a==t2.a?t1.b>t2.b:t1.a>t2.a;
}
double xl(int a,int b)
{
    return (double)(f[a]-f[b])/(x[b+1].a-x[a+1].a);
}
int main()
{
    int n,s=0,t=0,w=0;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d%d",&x[i].a,&x[i].b);
    sort(x+1,x+n+1,cmp);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(x[i].b>x[s].b) x[++s]=x[i];
    for(int i=1;i<=s;i++)
    {
        for(;t<w&&xl(q[t],q[t+1])<=x[i].b;t++);
        f[i]=f[q[t]]+(ll)x[i].b*x[q[t]+1].a;
        for(;t<w&&xl(q[w],q[w-1])>=xl(q[w],i);w--);
        q[++w]=i;
    }
    printf("%lld",f[s]);
    return 0;
}