BZOJ4012 [HNOI2015]开店（动态点分治）

Description

风见幽香有一个好朋友叫八云紫，她们经常一起看星星看月亮从诗词歌赋谈到

人生哲学。最近她们灵机一动，打算在幻想乡开一家小店来做生意赚点钱。这样的

想法当然非常好啦，但是她们也发现她们面临着一个问题，那就是店开在哪里，面

向什么样的人群。很神奇的是，幻想乡的地图是一个树形结构，幻想乡一共有 n

个地方，编号为 1 到 n，被 n-1 条带权的边连接起来。每个地方都住着一个妖怪，

其中第 i 个地方的妖怪年龄是 x_i。妖怪都是些比较喜欢安静的家伙，所以它们并

不希望和很多妖怪相邻。所以这个树所有顶点的度数都小于或等于 3。妖怪和人一

样，兴趣点随着年龄的变化自然就会变化，比如我们的 18 岁少女幽香和八云紫就

比较喜欢可爱的东西。幽香通过研究发现，基本上妖怪的兴趣只跟年龄有关，所以

幽香打算选择一个地方 u（u为编号），然后在 u开一家面向年龄在 L到R 之间（即

年龄大于等于 L、小于等于 R）的妖怪的店。也有可能 u这个地方离这些妖怪比较

远，于是幽香就想要知道所有年龄在 L 到 R 之间的妖怪，到点 u 的距离的和是多

少（妖怪到 u 的距离是该妖怪所在地方到 u 的路径上的边的权之和），幽香把这个

称为这个开店方案的方便值。幽香她们还没有决定要把店开在哪里，八云紫倒是准

备了很多方案，于是幽香想要知道，对于每个方案，方便值是多少呢。

Input

第一行三个用空格分开的数 n、Q和A，表示树的大小、开店的方案个数和妖

怪的年龄上限。

第二行n个用空格分开的数 x_1、x_2、…、x_n，x_i 表示第i 个地点妖怪的年

龄，满足0<=x_i<A。(年龄是可以为 0的，例如刚出生的妖怪的年龄为 0。)

接下来 n-1 行，每行三个用空格分开的数 a、b、c，表示树上的顶点 a 和 b 之

间有一条权为c(1 <= c <= 1000)的边，a和b 是顶点编号。

接下来Q行，每行三个用空格分开的数 u、 a、 b。对于这 Q行的每一行，用 a、

b、A计算出 L和R，表示询问“在地方 u开店，面向妖怪的年龄区间为[L,R]的方

案的方便值是多少”。对于其中第 1 行，L 和 R 的计算方法为：L=min(a%A,b%A),

R=max(a%A,b%A)。对于第 2到第 Q行，假设前一行得到的方便值为 ans，那么当

前行的 L 和 R 计算方法为： L=min((a+ans)%A,(b+ans)%A),

R=max((a+ans)%A,(b+ans)%A)。

Output

对于每个方案，输出一行表示方便值。

Sample Input

10 10 10
0 0 7 2 1 4 7 7 7 9
1 2 270
2 3 217
1 4 326
2 5 361
4 6 116
3 7 38
1 8 800
6 9 210
7 10 278
8 9 8
2 8 0
9 3 1
8 0 8
4 2 7
9 7 3
4 7 0
2 2 7
3 2 1
2 3 4

Sample Output

1603
957
7161
9466
3232
5223
1879
1669
1282
0

HINT

满足 n<=150000,Q<=200000。对于所有数据，满足 A<=10^9

题解

　　这题正解是动态点分治（不过据说主席树+树链剖分跑得更快？）

　　如果不知道什么是动态点分的可以去看看幻想乡的战略游戏->蒟蒻的题解

　　这一道题，我们考虑对于每一个点分树上的点维护什么。我们记录三个值，$sz_0$表示子树内的点数之和，$sz_1$表示子树内所有点到其的距离之和，$sz_2$表示子树内所有点到其父亲的距离之和。那么考虑我们在跳点分树的时候要如何维护答案呢？很明显$sz_1[u]+sum sz_1[fa]-sz_2[p]+(sz_0[fa]-sz_0[p])*dist(fa,u)$就是在点分树上与$u$的$LCA$是$fa$的所有点的距离之和，其中$fa$为$p$的父亲，$p$为从$u$不断跳父亲直到根，那么只要不断枚举$fa$，并不断往上跳并维护答案就可以了。

　　然而上面只是为了方便理解，因为具体的计算不是这样的。我们对于$u$点内部的贡献可以直接计算，然后考虑往上跳。在上述的式子中如果一个点$p$有$fa$，那么答案就要减去$sz_0[p]*dist(fa,u)+sz_2[p]$，如果一个点不是$u$那么答案就要加上$sz_0[p]+dist(p,u)$，然后每一个点都要加上自己的$sz_1$。按这个规律在跳点分树的时候不断加就好了

　　然后考虑怎么在$[l,r]$之内，很明显可以搞一个差分，把每一个节点在点分树上的子树内的所有年龄的距离之和加起来，在做前缀和，那么在年龄$[l,r]$的人数就是$[1,r]-[1,l-1]$

  1 //minamoto
  2 #include<cstdio>
  3 #include<iostream>
  4 #include<cstring>
  5 #include<vector>
  6 #include<algorithm>
  7 #define ll long long
  8 #define N 150005
  9 using namespace std;
 10 #define getc() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
 11 char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;
 12 template<class T>inline bool cmax(T&a,const T&b){return a<b?a=b,1:0;}
 13 inline int read(){
 14     #define num ch-'0'
 15     char ch;bool flag=0;int res;
 16     while(!isdigit(ch=getc()))
 17     (ch=='-')&&(flag=true);
 18     for(res=num;isdigit(ch=getc());res=res*10+num);
 19     (flag)&&(res=-res);
 20     #undef num
 21     return res;
 22 }
 23 char sr[1<<21],z[20];int C=-1,Z;
 24 inline void Ot(){fwrite(sr,1,C+1,stdout),C=-1;}
 25 inline void print(ll x){
 26     if(C>1<<20)Ot();if(x<0)sr[++C]=45,x=-x;
 27     while(z[++Z]=x%10+48,x/=10);
 28     while(sr[++C]=z[Z],--Z);sr[++C]='
';
 29 }
 30 int head[N],Next[N<<1],ver[N<<1],edge[N<<1];
 31 int n,tot,val[N],q,maxn;
 32 int st[N<<1][19],d[N],dfn[N],num,bin[25],tp,logn[N<<1];
 33 inline void add(int u,int v,int e){
 34     ver[++tot]=v,Next[tot]=head[u],head[u]=tot,edge[tot]=e;
 35     ver[++tot]=u,Next[tot]=head[v],head[v]=tot,edge[tot]=e;
 36 }
 37 inline void ST(){
 38     for(int j=1;j<=tp;++j)
 39     for(int i=1;i+bin[j]-1<=(n<<1);++i)
 40     st[i][j]=min(st[i][j-1],st[i+bin[j-1]][j-1]);
 41 }
 42 void dfs1(int u,int fa){
 43     st[dfn[u]=++num][0]=d[u];
 44     for(int i=head[u];i;i=Next[i]){
 45         int v=ver[i];
 46         if(v==fa) continue;
 47         d[v]=d[u]+edge[i],dfs1(v,u),st[++num][0]=d[u];
 48     }
 49 }
 50 int fa[N],sz[N],son[N],size,rt;bool vis[N];
 51 void dfs2(int u,int fa){
 52     sz[u]=1,son[u]=0;
 53     for(int i=head[u];i;i=Next[i]){
 54         int v=ver[i];
 55         if(vis[v]||v==fa) continue;
 56         dfs2(v,u),sz[u]+=sz[v],cmax(son[u],sz[v]);
 57     }
 58     cmax(son[u],size-sz[u]);
 59     if(son[u]<son[rt]) rt=u;
 60 }
 61 inline ll dis(int a,int b){
 62     if(dfn[a]>dfn[b]) a^=b^=a^=b;
 63     int k=logn[dfn[b]-dfn[a]+1];
 64     return d[a]+d[b]-(min(st[dfn[a]][k],st[dfn[b]-bin[k]+1][k])<<1);
 65 }
 66 struct node{
 67     int val;ll sz[3];
 68     node(int a=0,ll b=0,ll c=0,ll d=0){val=a,sz[0]=b,sz[1]=c,sz[2]=d;}
 69     inline bool operator <(const node &b)const
 70     {return val<b.val;}
 71 };
 72 vector<node> sta[N];
 73 void dfs3(int u,int f,int rt){
 74     sta[rt].push_back(node(val[u],1,dis(u,rt),fa[rt]?dis(u,fa[rt]):0));
 75     for(int i=head[u];i;i=Next[i]){
 76         int v=ver[i];
 77         if(v==f||vis[v]) continue;
 78         dfs3(v,u,rt);
 79     }
 80 }
 81 void dfs4(int u){
 82     vis[u]=true;
 83     dfs3(u,0,u);sta[u].push_back(node(-1,0,0,0));
 84     sort(sta[u].begin(),sta[u].end());
 85     for(int i=0,j=sta[u].size();i<j-1;++i)
 86     sta[u][i+1].sz[0]+=sta[u][i].sz[0],
 87     sta[u][i+1].sz[1]+=sta[u][i].sz[1],
 88     sta[u][i+1].sz[2]+=sta[u][i].sz[2];
 89     for(int i=head[u];i;i=Next[i]){
 90         int v=ver[i];
 91         if(vis[v]) continue;
 92         rt=0,size=sz[v];
 93         dfs2(v,0),fa[rt]=u,dfs4(rt);
 94     }
 95 }
 96 inline node query(int id,int l,int r){
 97     if(id==0) return node();
 98     vector<node>::iterator it1=upper_bound(sta[id].begin(),sta[id].end(),node(r,0,0,0));--it1;
 99     vector<node>::iterator it2=upper_bound(sta[id].begin(),sta[id].end(),node(l-1,0,0,0));--it2;
100     return node(0,it1->sz[0]-it2->sz[0],it1->sz[1]-it2->sz[1],it1->sz[2]-it2->sz[2]);
101 }
102 inline ll calc(int u,int l,int r){
103     ll res=0;
104     for(int p=u;p;p=fa[p]){
105         node a=query(p,l,r);
106         res+=a.sz[1];
107         if(p!=u) res+=a.sz[0]*dis(p,u);
108         if(fa[p]) res-=a.sz[2]+a.sz[0]*dis(fa[p],u);
109     }
110     return res;
111 }
112 int main(){
113     ll ans=0;
114     n=read(),q=read(),maxn=read();
115     bin[0]=1,logn[0]=-1;
116     for(int i=1;i<=20;++i) bin[i]=bin[i-1]<<1;
117     while(bin[tp+1]<=(n<<1)) ++tp;
118     for(int i=1;i<=(n<<1);++i) logn[i]=logn[i>>1]+1;
119     for(int i=1;i<=n;++i) val[i]=read();
120     for(int i=1;i<n;++i){
121         int u=read(),v=read(),e=read();
122         add(u,v,e);
123     }
124     dfs1(1,0),ST();
125     rt=0,son[0]=n+1,size=n,dfs2(1,0);
126     dfs4(rt);
127     while(q--){
128         int a=read(),b=read(),c=read();
129         b=(b+ans)%maxn,c=(c+ans)%maxn;
130         if(b>c) b^=c^=b^=c;
131         print(ans=calc(a,b,c));
132     }
133     Ot();
134     return 0;
135 }