bzoj2720: [Violet 5]列队春游（概率期望+组合数学）

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HINT

数学题都这么骚的么……怎么推出来的啊……我是真的想不出来……

首先，要算总的视野期望，我们可以把每一个小朋友的视野期望算出来，然后求和

于是考虑如何计算每个小朋友的视野期望，设$L$表示视野长度，视野期望为$ans$，则有$$ans=sum_{i=1}^n i*P(L=i)$$

然后考虑转化一下，我们原来是枚举视野长度然后考虑概率，那么我们换一个想法，考虑它前面的第$i$个人如果被看到就会对答案有$1$的贡献，那么我们只要考虑前面的第$i$个人会被看到的概率就可以了，可以直接求和$$ans=sum_{i=1}^n P(Lgeq i)$$

考虑概率如何计算。设不小于第$i$个小朋友身高的有$k$个人（不包括他自己），那么$$ans=sum_{i=1}^n frac{(n-i+1)A^k_{n-i}}{A^{k+1}_n}$$

上面的式子意思就是，会挡住小朋友的人包括自己随便放总共有$A^{k+1}_n$种情况，其中那些会挡住小朋友的人不能放在小朋友前面的$i-1$个位置，也不能放在小朋友的位置，所以方案数为$A^k_{n-i}$,然后又因为小朋友自己有$n-i+1$个位置可以放，所以乘上一个$n-i+1$

然后考虑乱推式子$$ans=sum_{i=1}^n frac{(n-i+1)frac{(n-i)!}{(n-i-k)!}}{frac{n!}{(n-k-1)!}}$$

$$ans={frac{(n-k-1)!}{n!}}sum_{i=1}^n frac{(n-i+1)!}{(n-i-k)!}$$

$$ans={frac{(n-k-1)!}{n!}}(k+1)!sum_{i=1}^n frac{(n-i+1)!}{(n-i-k)!(k+1)!}$$

$$ans={frac{(n-k-1)!}{n!}}(k+1)!sum_{i=1}^n C_{n-i+1}^{k+1}$$

$$ans={frac{(n-k-1)!}{n!}}(k+1)!C_{n+1}^{k+2}$$

$$ans=frac{n+1}{k+2}$$

然后对每一个高度都带进去做就行了

ps：一开始没想通倒数第二行怎么化出来的……后来发现是自己组合数姿势不够……把求和拆开来然后前面加上一项$C_1^{k+2}$然后用组合数递推公式带进去化一下就好了……

 时间复杂度$O(n)$

//minamoto
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1005;
int h[N],n,sum;double ans;
int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1,x;i<=n;++i)
    scanf("%d",&x),++h[x];
    for(int i=1;i<=1000;++i) ans+=1.0*h[i]*(n+1)/(n-sum+1),sum+=h[i];
    printf("%.2lf
",ans);
    return 0;
}