扩展欧几里德算法~简单

之前一直知道扩展欧几里德算法的实现代码，但是原理一直还是模模糊糊，看了很多终于明白了，于是决定写一篇来记录下自己的思路。

下面实现的其他定理就不再多解释了，主要讲扩展欧几里德算法。

扩展欧几里德算法就是用来求 Ax+By=K 的一组解,  A,B,K 都是已知常量，求解 x, y.

首先，根据“贝祖等式“可知，

　　　　　　　　Ax₁+By₁=gcd(A,B).

所以我们可以接着推出

　　　　　　　C =A%B.

　　　　　　　Bx₂ + Cy₂ = gcd(B,C)

　　　　　   =  Bx₂ + (A%B)y₂ = gcd( B, A%B ).

然后我们再接着推个用到的

　　　　　　A%B=[A-(A/B)*B]. //这一步要注意下，这里的  ‘A/B’是计算机中的A/B，不保留小数的　

最后，我们可以来总推了

　　　　　　Ax₁ + By₁ = gcd( A, B ) .

　　　　　　C=A%B.

　　　　　　Bx₂ + Cy₂ = gcd( B, C ).

　　　　　　gcd( A, B ) = gcd( B, C ).//划重点

　　　所以

　　　　　　Ax₁ + By₁ = Bx₂ + Cy₂

　　　　　　Ax₁ + By₁ = Bx₂ + ( A%B )y₂

　　　　　　Ax₁ + By₁ = Bx₂ + [ A - (A/B) * B ]y₂

　　　　　　Ax₁ + By1 = Bx₂ + Ay₂ - [ (A/B) *B]y₂

　　　根据恒等定理得

　　　　　　Ax₁ = Ay₂

　　　　　　By₁ = Bx₂ -  B*[ (A/B) *y₂ ] = B * [ x₂ - (A/B)*y₂ ]

　　　所以

　　　　　　x₁ = y₂

　　　　　　y₁ = x₂ - (A/B)*y₂

　　

　　　仔细观察下这其实就是个递推的过程

　　　　　　因为 x₁要从 y₂得来 ,   y₁要从  x₂ - (A/B)*y₂得来

　　　　　　    而 x₂ 要从 y₃ 得来 , y₂要从  x₃ - (A/B)*y₃得来

　　　　　　　.........................................................................

　　　　　　   最终X_n-1 要从 Y_n得来，Y_n-1 要从 X_n - (A/B)*Y_n

　　　　　　 //注意，这里的A和B的值, 每次都不一样, A 和 B 不断的替换为 A=B , B=A%B,其实就是gcd的参数变换

　　　那么这个递推的边界在哪里呢？

　　　　　　假设 A>0  B=0

　　　　　　则  gcd( A, B )=A.

　　　　　　则  Ax + By =gcd ( A,B )

　　　　　　可以推出  x=1, y=0.

　　　　　　那么边界就是当 B=0的时候,  赋值 x=1，y=0 然后返回

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下面给出两个实现代码，一个是简单流程实现版，一个是代码简化版，建议看懂第一个 然后 用 第二个 

//简化版
int gcd_pro(int A, int B, int &x, int &y)
{
    if (B == 0)
    {
        x = 1;
        y = 0;
        return A;
    }
    else
    {
        int ans;
        int x_temp, y_temp;

        x_temp = x;
        y_temp = y;
        ans=gcd_pro(B, A%B, x_temp, y_temp);

        x = y_temp;
        y = x_temp - (A / B)*y_temp;
        return ans;
    }
}

//白书版
int gcd_pro(int A, int B, int &x, int &y)
{
    if (B == 0)
    {
        x = 1;
        y = 0;
        return A;
    }
    else
    {
        int ans;
        ans = gcd_pro(B, A%B, y, x);
        y -= (A / B)*x;
        return ans;
    }
}

不过，我们经常性是要解决  Ax + By=C 这样的方程，知道了 Ax + By = gcd(A,B)的解又有什么用呢？

我们只要把  Ax + By = gcd(A,B) 得出的 x 和 y，

乘等于 C / gcd(A,B) 就得到 Ax + By = C 的解

下面给出例子

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<string>
#include<vector>
#include<queue>
using namespace std;

int gcd_pro(int A, int B, int &x, int &y)
{
    if (B == 0)
    {
        x = 1;
        y = 0;
        return A;
    }
    else
    {
        int ans;
        ans = gcd_pro(B, A%B, y, x);
        y -= (A / B)*x;
        return ans;
    }
}

int main() 
{
    int ans;
    int x_ans, y_ans;
    int A_ans, B_ans, C_ans;

    x_ans = y_ans = 0;
    cin >> A_ans >> B_ans >> C_ans;

    ans=gcd_pro(A_ans, B_ans, x_ans, y_ans);

　　　 x_ans *= C_ans/ans;
　　　 y_ans *= C_ans/ans;

    cout << ans << endl << x_ans << ' ' << y_ans << endl;

    return 0;
}