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在百度百科上面学了欧拉函数:
- 中文名
- 欧拉函数
- 外文名
- Euler's totient function
- 定 义
- 小于n的数中与n互质的数的数目
- 发现人
- 欧拉(Euler)
通式:
![](https://gss0.bdstatic.com/-4o3dSag_xI4khGkpoWK1HF6hhy/baike/s%3D146/sign=972114bf49a98226bcc12f23bc80b97a/f3d3572c11dfa9ecf6f6c0dd68d0f703908fc124.jpg)
其中p1, p2……pn为x的所有质因数,x是不为0的整数。
φ(1)=1(和1互质的数(小于等于1)就是1本身)。
注意:每种质因数只一个。 比如12=2*2*3那么φ(12)=φ(4*3)=φ(2^2*3^1)=(2^2-2^1)*(3^1-3^0)=4
若n是质数p的k次幂,
,因为除了p的倍数外,其他数都跟n互质。
![](https://gss2.bdstatic.com/9fo3dSag_xI4khGkpoWK1HF6hhy/baike/s%3D211/sign=8a21a419ac18972ba73a07cbd7cd7b9d/f9198618367adab410da834e8cd4b31c8701e4b1.jpg)
设n为正整数,以 φ(n)表示不超过n且与n互素的正整数的个数,称为n的欧拉函数值
φ:N→N,n→φ(n)称为欧拉函数。
欧拉函数是积性函数——若m,n互质,
![](https://gss3.bdstatic.com/-Po3dSag_xI4khGkpoWK1HF6hhy/baike/s%3D140/sign=daa516337cec54e745ec1e1a89399bfd/bd3eb13533fa828b5d8406eefa1f4134970a5a1c.jpg)
特殊性质:当n为奇质数时,
, 证明与上述类似。
![](https://gss0.bdstatic.com/-4o3dSag_xI4khGkpoWK1HF6hhy/baike/s%3D96/sign=52a5c55ef1246b607f0ebe72eaf8e29d/8cb1cb134954092331f8f8739558d109b3de492e.jpg)
若n为质数则
![](https://gss3.bdstatic.com/7Po3dSag_xI4khGkpoWK1HF6hhy/baike/s%3D85/sign=31100df17bd98d1072d40134203fd0be/a5c27d1ed21b0ef404180353dac451da80cb3ece.jpg)
下面说一种欧拉筛,用于求解区间内所有的数的欧拉函数:
/** 有三条特性 若a为质数 phi[a]=a-1 若a为质数,b%a==0 phi[a*b]=phi[b]*a; 若a b 互质 phi[a*b]=phi[a]*phi[b](当a为质数 如果b%a!=0) */ #include<iostream> using namespace std; const int maxn=1e5+50; int phi[maxn],prime[maxn],p[maxn];//phi[i]代表i的欧拉函数值 prime[i]=0代表是素数 1代表不是素数 p存储素数 void make() { phi[1]=1;//特例 int num=0; for(int i=2;i<=maxn;i++) { if(!prime[i])//是素数 { p[num++]=i;// phi[i]=i-1;//素数的欧拉函数值就是它的值减1 } for(int j=0;j<num&&p[j]*i<maxn;j++)//用当前已经得到的素数筛去p[j]*i { prime[p[j]*i]=1;//可以确定p[j]*i不是质数 if(i%p[j]==0)//第二条特性 { phi[p[j]*i]=phi[i]*p[j]; break;//欧拉筛的核心语句 保证每个数只会被自己最小的质因子筛掉一次 } else phi[p[j]*i]=phi[i]*phi[p[j]]; } } return ; } int main() { make(); // for(int i=1;i<=100;i++) cout<<phi[i]<<" "; return 0; }
下面看一下单个值的欧拉值的求法:
#include<iostream> #include<cmath> using namespace std; int eular(int n) { int res=n,m=n; for(int i=2;i<=sqrt(m);i++) { if(m%i==0) res=res/i*(i-1); while(m%i==0) m=m/i; } if(m>1) res=res/m*(m-1); return res; } int main() { int n; cin>>n; cout<<eular(n)<<endl; return 0; }