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二分图匹配
基本概念：
给定一个二分图G，在G的一个子图M中，M的边集{E}中的任意两条边都不依附于同一个顶点，则称M是一个匹配。
通常分为以下几种匹配：
一、 最大匹配
指在当前已完成的匹配下,无法再通过增加未完成匹配的边的方式来增加匹配的边数。这个问题通常使用匈牙利算法解决，朴素时间复杂度为O（V^3）,使用邻接表的前提下时间复杂度为O（VE）。还有一种对匈牙利进行了优化的Hopcroft-Karp算法，时间复杂度为O（sqrt（V）*E）。
二、 完全匹配（完备匹配）
是在最大匹配下的一种特殊情况，指在二分图的两个集合中的点两两都能够得到匹配。
三、 最佳匹配
节点带有权值，在能够完全匹配的前提下，选择匹配方案使得权值之和最大。这个问题通常使用KM算法解决，时间复杂度O(V^3)。
算法介绍：
一、 匈牙利算法
1、基本概念：
1）交替路：从一个未匹配点出发，依次经过非匹配边、匹配边、非匹配边...形成的路径叫交替路。
2）增广路：从一个未匹配点出发，走交替路，如果途径另一个未匹配点（出发的点不算），则这条交替路称为增广路（agumenting path）。
如下图所示：
红边为三条已经匹配的边。从X部一个未匹配的顶点x4开始，能找到一条增广路：
x4->y3->x2->y1->x1->y2 所以到最后就是x1->y2 x2->y1 x3-y4 x4->y3
由增广路的定义可以推出下述三个结论：
①增广路的路径长度必定为奇数，第一条边和最后一条边都不属于M（已匹配子图），因为两个端点分属两个集合，且未匹配。
②增广路经过取反操作（已匹配边变为未匹配边，未匹配边变为已匹配边）可以得到一个更大的匹配M’。
③M为G的最大匹配当且仅当不存在相对于M的增广路径。
2、匈牙利算法能解决的问题：
1)最大匹配
最大匹配的匹配边的数目。
2)最小点覆盖数
二分图的最小点覆盖数=最大匹配数（König定理）
这里说明一下什么是最小点覆盖：假如选了一个点就相当于覆盖了以它为端点的所有边，你需要选择最少的点来覆盖所有的边。
3）最小路径覆盖
最小路径覆盖＝顶点数－最大匹配数
在一个N*N的有向图中，路径覆盖就是在图中找一些路经，使之覆盖了图中的所有顶点，
且任何一个顶点有且只有一条路径与之关联；（如果把这些路径中的每条路径从它的起始点走到它的终点。
最小路径覆盖就是找出最小的路径条数，使之成为G的一个路径覆盖。
由上面可以得出：
①一个单独的顶点是一条路径；
②如果存在一路径p1,p2,......pk，其中p1 为起点，pk为终点，那么在覆盖图中，顶点p1,p2,......pk不再与其它的顶点之间存在有向边。
4）最大独立集
最大独立集=顶点数-最大匹配数。
独立集：图中任意两个顶点都不相连的顶点集合。
3、算法实现(别的博客找的)
我们以下图为例说明匈牙利匹配算法。
step1：从1开始，找到右侧的点4，发现点4没有被匹配，所以找到了1的匹配点为4 。得到如下图：
step2：接下来，从2开始，试图在右边找到一个它的匹配点。我们枚举5，发现5还没有被匹配，于是找到了2的匹配点，为5.得到如下图：
step3:接下来，我们找3的匹配点。我们枚举了5，发现5已经有了匹配点2。此时，我们试图找到2除了5以外的另一个匹配点，我们发现，我们可以找到7，于是2可以匹配7，所以5可以匹配给3，得到如下图：
此时，结束，我们得到最大匹配为3。
匈牙利算法的本质就是在不断寻找增广路，直到找不到位置则当前的匹配图就是最大匹配。
题目链接：https://www.51nod.com/Challenge/Problem.html#!#problemId=2006
看代码：
#include<iostream> #include<algorithm> #include<stack> #include<cstdio> #include<map> #include<queue> #include<cstring> using namespace std; typedef long long LL; const int maxn=1e2+5; vector<int>v[maxn]; int link[maxn];//link[y]=x 即y和x匹配 bool vis[maxn]; int N,M; //用dfs寻找增广路 bool dfs(int u) { for(int i=0;i<v[u].size();i++)//遍历所有与u能够匹配的飞行员 { int t=v[u][i]; if(!vis[t])//本次查找还没有走过这个点 走过就不需要在走了 { vis[t]=true; if(link[t]==-1||dfs(link[t]))//如果t尚未被匹配 或者link[t] 能够找到其它能够替代的点 则把t点让给u { link[t]=u; return true; } } } return false;//找不到能与自己匹配的飞行员 } //返回最大匹配数 int max_match() { memset(link,-1,sizeof(link)); int ans=0; for(int i=1;i<=N;i++)//遍历二分图左边的所有点 { memset(vis,false,sizeof(vis));//每次查找一个新的点都需要标记所有点没有走过 因为是一次新的查找 if(dfs(i)) ans++; } return ans; } int main() { cin>>N>>M; int a,b; while(cin>>a>>b) { if(a==-1&&b==-1) break; v[a].push_back(b);//a和b可以匹配 } int t=max_match(); if(t==0) cout<<"No Solution!"<<endl; else cout<<t<<endl; return 0; }