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  • 做实验 解题报告(二进制枚举子集)

    题目描述

    有一天,你实验室的老板给你布置的这样一个实验。
    首先他拿出了两个长度为 n 的数列 a 和 b,其中每个 a i 以二进制表示一个集
    合。例如数字 5 = (101) [2] 表示集合 {1, 3}。第 i 次实验会准备一个小盒子,里面装
    着集合 a i 所有非空子集的纸条。老板要求你从中摸出一张纸条,如果满足你摸出的
    纸条是 a i 的子集而不是 a i−b i ,a i−b i +1 ,...,a i−1 任意一个的子集,那么你就要被阿掉;
    反之,你就逃过一劫。
    令你和老板都没有想到的是,你竟然每次都逃过一劫。在庆幸之余,为了知道
    这件事发生的概率,你想要算出每次实验有多少纸条能使你被阿掉

    输入格式

    第一行一个数字 n。
    接下来 n 行,每行两个整数,分别表示 a i 和 b i 。

    输出格式

    n 行,每行一个数字,表示第 i 次实验能使你被啊掉的纸条数。

    样例输入 1

    3
    7 0
    15 1
    3 1

    样例输出 1

    7
    8
    0
    4

    数据范围

    对于 30% 的数据,n, a i , b i ≤ 100
    对于 70% 的数据,n, a i , b i ≤ 60000
    对于 100% 的数据,n, a i , b i ≤ 10 5
    保证所有的 a i 不重复,b i < i

    题解

    看上去是可以在线做的
    关键是枚举每个数的子集 暴力求二进制下每一位是否为1的话是无法表示一个子集的(反正我不会 大多数人也不会 会也不必要在这个题上)
    for(int i=a;i;i=(i-1)&a)就可以枚举了
    证明:对于第一个真子集(a-1)&a,这个-1把二进制表示下的a的数值为1的最后一位变成了0,而这一位后面的0都变成了1,再&一下原来的a,后面的1又变回了0,而变为0的那一位就没有变回去
    所以这一操作就直接搞掉了最后一个1(看不懂就对着我刚刚说的模拟一遍,eg:10110)
    同时可以用一个f数组记录一下该子集的最后出现在哪一个大集合里

    代码

    #include <cstdio>
    #include <cmath>
    #define ll long long
    #define R register
    #define file(x) freopen(x".in","r",stdin);freopen(x".out","w",stdout);
    using namespace std;
    inline int read(){
    	int x=0,f=1;char c=getchar();
    	while (c>'9'||c<'0') {if (c=='-') f=-1;c=getchar();}
    	while (c>='0'&&c<='9') {x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);c=getchar();}
    	return x*f;
    }
    const int maxn=1e5+5;
    int n,a,b,ans,f[maxn];
    void init(){
    	n=read();
    }
    void doit(){
    	for (R int i(1);i<=n;++i){
    		a=read(),b=read();
    		ans=0;
    		for (R int j(a);j;j=(j-1)&a){//枚举子集
    			if (f[j]<i-b) ++ans;//判断是否在该数的前b个数的子集里
    			f[j]=i;
    		}
    		printf("%d
    ",ans);
    	}
    }
    signed main(){
    //	file("test");
    	init();
    	doit();
    	return 0;
    }
    
    
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