zoukankan      html  css  js  c++  java
  • bzoj 4830: [Hnoi2017]抛硬币 [范德蒙德卷积 扩展lucas]

    4830: [Hnoi2017]抛硬币

    题意:A投a次硬币,B投b次硬币,a比b正面朝上次数多的方案数,模(10^k)

    (b le a le b+10000 le 10^{15}, k le 9)


    几乎一下午和一晚上杠这道题...中间各种翻《具体数学》各种卡常

    有两种做法,这里只说我认为简单的一种。


    题目就是要求

    [sum_{i=0}^a sum_{j=0}^b [i>j] inom{a}{i} inom{b}{j} ]

    化一化得到

    [sum_{i=1}^a sum_{j=0}^{a-i} inom{a}{i+j} inom{b}{b-j} ]

    根据范德蒙德卷积,得到

    [sum_{i=b+1}^{a+b} inom{a+b}{i} ]

    然而并不会计算...根据题目范围显然应该与a,b的差相关...


    参考了这里

    把这个组合数拆成两部分计算:

    [sum_{i=lceil frac{a+b}{2} ceil}^{a+b} inom{a+b}{i}+ sum_{i=b+1}^{lfloor frac{a+b}{2} floor} inom{a+b}{i} ]

    (a+b)为奇数时前一部分就是(2^{a+b-1})

    注意判断(a+b)为偶数的时候,要减去(frac{1}{2} inom{a+b}{(a+b)/2})


    因为模数特殊需要使用扩展lucas定理

    但是(10^9)直接用会T...

    10只有2和5两个质因子,预处理不能整除2或5的数的阶乘就没问题了。


    关于模意义再提两点:

    1. (a equiv b pmod {md} ightarrow aequiv b pmod m),所以可以放在(10^9)下做
    2. 组合数除以2,对于(2^a)这个质因子2的逆元不存在,我们只能把指数减1.然后2的指数有可能本来就为0,所以不是所有组合数都能除以2(有的本来就是奇数啊),可以证明(inom{2n}{n})为偶数

    最后还有一个卡常技巧

    如果(p)指数大于9不要继续计算了...节省好多常数

    #include <iostream>
    #include <cstdio>
    #include <cstring>
    #include <algorithm>
    #include <ctime>
    using namespace std;
    typedef long long ll;
    const int N=2e6+5;
    int mo, p2, p5;
    
    ll a, b; int k;
    inline ll Pow(ll a, ll b, ll mo) {
    	ll ans=1;
    	for(; b; b>>=1, a=a*a%mo)
    		if(b&1) ans=ans*a%mo;
    	return ans;
    }
    inline ll Inv(ll a, ll n) {return Pow(a, ((n&1) ? n/5*4 : n/2) - 1, n);}
    
    ll fac2[N], fac5[N];
    inline ll Fac(ll n, ll p, ll pr) {
    	if(n == 0) return 1;
    	ll ans = 1;
    	if(p == 2) ans = fac2[pr] %pr; else ans = fac5[pr] %pr;
    	ans = Pow(ans, n/pr, pr);
    	if(p == 2) ans = ans * fac2[n%pr] %pr; else ans = ans * fac5[n%pr] %pr;
    	return ans * Fac(n/p, p, pr) %pr;
    }
    ll cou(ll n, ll p) { ll ans = 0; for(ll i=n; i; i/=p) ans += i/p; return ans; }
    
    ll C(ll n, ll m, bool div2=0) {
    	if(n < m) return 0;
    
    	ll ans = 0, a = 0, t;
    	{
    		ll p = 2, pr = p2;
    		ll c = cou(n, p) - cou(m, p) - cou(n-m, p);
    		if(div2) t = Pow(p, --c, pr);
    		else t = Pow(p, c, pr);
    		
    		if(c<9) {
    			a = Fac(n, p, pr) * Inv(Fac(m, p, pr), pr) %pr * Inv(Fac(n-m, p, pr), pr) %pr * t %pr;
    			a = a * (mo/pr) %mo * Inv(mo/pr, pr) %mo;
    			ans = (ans + a) %mo;
    		}
    	}
    	{
    		ll p = 5, pr = p5;
    		ll c = cou(n, p) - cou(m, p) - cou(n-m, p);
    		t = Pow(p, c, pr);
    		if(div2) t = t * Inv(2, pr) %pr;
    
    		if(c<9) {
    			a = Fac(n, p, pr) * Inv(Fac(m, p, pr), pr) %pr * Inv(Fac(n-m, p, pr), pr) %pr * t %pr;
    			a = a * (mo/pr) %mo * Inv(mo/pr, pr) %mo;
    			ans = (ans + a) %mo;
    		}
    	}
    
    	return ans;
    }
    
    char c[50];
    void print(ll ans) {
    	for(int i=0; i<20; i++) c[i] = '0';
    	int p=0;
    	while(ans) c[++p] = ans%10 + '0', ans /= 10;
    	for(int i=k; i>=1; i--) putchar(c[i]); puts("");
    }
    
    void init(int k) {
    	fac2[0] = 1; p2 = Pow(2, k, 1e9); 
    	for(int i=1; i<=p2; i++) fac2[i] = fac2[i-1] * (i%2 ? i : 1) %p2;
    
    	fac5[0] = 1; p5 = Pow(5, k, 1e9);
    	for(int i=1; i<=p5; i++) fac5[i] = fac5[i-1] * (i%5 ? i : 1) %p5;
    }
    
    int main() {
    	freopen("in", "r", stdin);
    	init(9); mo = 1e9;
    	while(scanf("%lld %lld %d", &a, &b, &k) != EOF) {
    		ll ans = Pow(2, a+b-1, mo);
    		for(ll i=b+1; i<=(a+b)/2; i++) ans = (ans + C(a+b, i)) %mo;
    		if(~(a+b)&1) ans = (ans - C(a+b, (a+b)>>1, 1) + mo) %mo;
    		int t = 1; for(int i=1; i<=k; i++) t *= 10; ans %= t;
    		print(ans);
    	}
    	//printf("time %lf
    ", (double) clock()/CLOCKS_PER_SEC);
    }
    
    
  • 相关阅读:
    解决VS2005 远程工具无法通过同步软件连接S5pv210 样机的问题
    java.util.concurrent 多线程框架线程池编程(三)
    线程池java.util.concurrent 多线程框架(二)
    java.util.concurrent 多线程框架线程池编程(一)
    java.util.concurrent 多线程框架线程池编程(四)
    Box2D学习笔记(2)
    Box2D学习笔记(1)
    ASP.NET页面防止刷新
    C#中跨数据库增删改的事务控制
    .NET(C#)开源代码分析
  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/candy99/p/6759346.html
Copyright © 2011-2022 走看看