国庆 day 3 上午

a
【问题描述】
　　　　　　　　你是能看到第一题的 friends 呢。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　——hja
　　　　怎么快速记单词呢？也许把单词分类再记单词是个不错的选择。何大爷给
　　出了一种分单词的方法，何大爷认为两个单词是同一类的当这两个单词的各个
　　字母的个数是一样的，如 dog 和 god。现在何大爷给了你?个单词，问这里总共
　　有多少类单词。
【输入格式】
　　第一行一个整数n代表单词的个数。
　　接下来n行每行一个单词。
【输出格式】
　　一行一个整数代表答案。
【样例输入】
　　3
　　AABAC
　　CBAAA
　　AAABB
【样例输出】
　　2
【数据范围与规定】
　　70%的数据，1 ≤ ? ≤ 100。
　　对于100%的数据，1 ≤ ? ≤ 10000，所有单词由大写字母组成。
　　P99 zhxb

思路：很简单，sort一下，set记录就好。

#include<set>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n;
string s;
set<string>s1;
using namespace std;
int main(){
    freopen("a.in","r",stdin);
    freopen("a.out","w",stdout);
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>s;
        sort(s.begin(),s.end());
        s1.insert(s);
    }
    cout<<s1.size();
}

b
【问题描述】
　　　　　　你是能看到第二题的 friends 呢。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　——laekov
　　　　长度为?的铁丝，你可以将其分成若干段，并把每段都折成一个三角形。你
　　还需要保证三角形的边长都是正整数并且三角形两两相似，问有多少种不同的
　　分法。
【输入格式】
　　一行一个整数n。
【输出格式】
　　一行一个整数代表答案对10 9 + 7取模之后的值。
【样例输入 1
　　6
【样例输出 1】
　　2
【样例输入 2】
　　9
【样例输出 2】
　　6
【样例解释 2】
　　(1,1,1),(2,2,2);(2,2,2),(1,1,1)算两种方案。
【数据范围与规定】
　　对于30%的数据，1≤n≤100。
　　对于60%的数据，1 ≤n≤ 1000。
　　对于100%的数据，1 ≤ n≤ 10^6 。
　　P99 zhxc

思路：打表+

以下解题思路转自xxy大佬的博客

设分成的每段长为Li，g=gcd（Li）

那么一共有n/g 个单位

设f[g]表示以g为周长，且三边gcd为1 的三角形的个数

设h[n/g]表示把n/g个单位 分配给任意多个三角形的个数

那么 ans=Σ f[g]*h[n/g]   （g|n）

求f[g]：

设g=a+b+c，且a<=b<=c

对b和c的大小分两种情况讨论：

① b==c ：

==> g=a+2b，那么b∈[ceil(g/3),floor((g-1)/2)]

所以f[g]=floor((g-1)/2）- ceil(g/3) +1

② b<c ：

a，b，c 的每一种方案都可以看做由 a，b，c-1的每一种方案转移过来

但有一种除外：a+b=c，因为此时a，b，c-1 合法，a，b，c 不合法

当g为偶数时，a+b+a+b=g，g=2*（a+b），所以有floor（g/4）个

所以f[g]=f[g-1]+ （b&1）？ 0 ： -g/4

然后因为要求三边长互质，所以枚举g的每个因数k，f[g]-=f[k]

求h[i]：

把i个物品分成任意份的方案数=C（i-1,0）+C（i-1，1）+……+C（i-1，i-1）

= 2^(i-1)

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define MAXN 1000010
#define mod 1000000007
using namespace std;
int n,ans;
int f[MAXN],dp[MAXN],more[MAXN];
void pre(){
    f[1]=0;f[2]=0;f[3]=1;f[4]=0;f[5]=1;f[6]=2;f[7]=2;f[8]=1;f[9]=6;f[10]=3;
    f[11]=4;f[12]=10;f[13]=5;f[14]=6;f[15]=25;f[16]=6;f[17]=8;f[18]=40;f[19]=10;f[20]=16;
    f[21]=81;f[22]=14;f[23]=14;f[24]=144;f[25]=31;f[26]=19;f[27]=280;f[28]=32;f[29]=21;f[30]=569;
    f[31]=24;f[32]=32;f[33]=1062;f[34]=32;f[35]=123;f[36]=2098;f[37]=33;f[38]=40;f[39]=4147;f[40]=188;
    f[41]=40;f[42]=8305;f[43]=44;f[44]=74;f[45]=16731;f[46]=58;f[47]=52;f[48]=32880;f[49]=182;f[50]=593;
    f[51]=65620;f[52]=100;f[53]=65;f[54]=131222;f[55]=1153;f[56]=408;f[57]=262248;f[58]=91;f[59]=80;f[60]=526534;
    f[61]=85;f[62]=104;f[63]=1049329;f[64]=256;f[65]=4266;f[66]=2097406;f[67]=102;f[68]=168;f[69]=4194453;f[70]=9435;
    f[71]=114;f[72]=8389356;f[73]=120;f[74]=147;f[75]=16793845;f[76]=210;f[77]=2431;f[78]=33554771;f[79]=140;f[80]=33664;
    f[81]=67109568;f[82]=180;f[83]=154;f[84]=134222278;f[85]=65816;f[86]=198;f[87]=268435687;f[88]=1764;f[89]=176;f[90]=537003715;
    f[91]=8689;f[92]=304;f[93]=73742080;f[94]=236;f[95]=262493;f[96]=147486386;f[97]=208;f[98]=16762;f[99]=294970616;f[100]=525236;
    f[101]=225;f[102]=589935100;f[103]=234;f[104]=5060;f[105]=180951179;f[106]=299;f[107]=252;f[108]=359743304;f[109]=261;f[110]=2100625;
    f[111]=719476629;f[112]=74624;f[113]=280;f[114]=438953217;f[115]=4194803;f[116]=476;f[117]=877914883;f[118]=370;f[119]=131884;f[120]=764219541;
    f[121]=4412;f[122]=395;f[123]=511620533;f[124]=544;f[125]=16777781;f[126]=23520200;f[127]=352;f[128]=33792;f[129]=46480812;f[130]=33561658;
    f[131]=374;f[132]=92971720;f[133]=525301;f[134]=476;f[135]=253064929;f[136]=67120;f[137]=408;f[138]=371843557;f[139]=420;f[140]=135276738;
    f[141]=743685675;f[142]=534;f[143]=21939;f[144]=487573369;f[145]=268436226;f[146]=564;f[147]=976838685;f[148]=768;f[149]=481;f[150]=486371819;
    f[151]=494;f[152]=264124;f[153]=899095103;f[154]=4230111;f[155]=73742696;f[156]=797942289;f[157]=533;f[158]=660;f[159]=595846044;f[160]=148044530;
    f[161]=8390048;f[162]=191955045;f[163]=574;f[164]=940;f[165]=678420224;f[166]=728;f[167]=602;f[168]=784611668;f[169]=21091;f[170]=590005152;
    f[171]=534052443;f[172]=1034;f[173]=645;f[174]=67051138;f[175]=213425504;f[176]=2234048;f[177]=134100040;f[178]=836;f[179]=690;f[180]=629164408;
    f[181]=705;f[182]=67159441;f[183]=536397479;f[184]=4197128;f[185]=719477490;f[186]=72794800;f[187]=271076;f[188]=1232;f[189]=281905179;f[190]=439221006;
    f[191]=784;f[192]=299637156;f[193]=800;f[194]=992;f[195]=460352967;f[196]=268453912;f[197]=833;f[198]=169414077;f[199]=850;f[200]=773118105;
    f[201]=329377190;f[202]=1075;f[203]=536873117;f[204]=658901564;f[205]=511621583;f[206]=1118;f[207]=325897438;f[208]=33737152;f[209]=1059738;f[210]=733120196;
    f[211]=954;f[212]=1560;f[213]=270017566;f[214]=1206;f[215]=46481967;f[216]=624195158;f[217]=147486152;f[218]=1251;f[219]=80066391;f[220]=97166226;
    f[221]=361480;f[222]=160132539;f[223]=1064;f[224]=429287396;f[225]=539823443;f[226]=1344;f[227]=1102;f[228]=641067392;f[229]=1121;f[230]=376045827;
    f[231]=875181021;f[232]=268439796;f[233]=1160;f[234]=629865643;f[235]=743687047;f[236]=1930;f[237]=124161904;f[238]=180068149;f[239]=1220;f[240]=282249196;
    f[241]=1240;f[242]=8396278;f[243]=630864590;f[244]=2060;f[245]=334482250;f[246]=993285370;f[247]=1352967;f[248]=73746777;f[249]=986566337;f[250]=966267700;
    f[251]=1344;f[252]=963458550;f[253]=16792899;f[254]=1696;f[255]=845680875;f[256]=147618802;f[257]=1408;f[258]=892519773;f[259]=438956020;f[260]=834130603;
    f[261]=321910893;f[262]=1804;f[263]=1474;f[264]=902808123;f[265]=595847773;f[266]=878514327;f[267]=140132997;f[268]=2482;f[269]=1541;f[270]=613538991;
    f[271]=1564;f[272]=590463176;f[273]=321617640;f[274]=1972;f[275]=450507987;f[276]=129468687;f[277]=1633;f[278]=2030;f[279]=389587111;f[280]=593581177;
    f[281]=1680;f[282]=484194447;f[283]=1704;f[284]=2784;f[285]=503383384;f[286]=144739395;f[287]=23244429;f[288]=608926200;f[289]=526056;f[290]=335498669;
    f[291]=873525635;f[292]=2940;f[293]=1825;f[294]=795703352;f[295]=134102175;f[296]=719483184;f[297]=352487218;f[298]=2331;f[299]=21030745;f[300]=829570449;
    f[301]=92965331;f[302]=2394;f[303]=976373910;f[304]=440334209;f[305]=536399754;f[306]=133930833;f[307]=2002;f[308]=727053010;f[309]=905487848;f[310]=146550417;
    f[311]=2054;f[312]=797987002;f[313]=2080;f[314]=2587;f[315]=504510638;f[316]=3440;f[317]=2133;f[318]=243886012;f[319]=73765456;f[320]=196774796;
    f[321]=487764748;f[322]=752192960;f[323]=2754708;f[324]=829784319;f[325]=666295098;f[326]=2788;f[327]=951050268;f[328]=511628523;f[329]=487375739;f[330]=519846041;
    f[331]=2324;f[332]=3794;f[333]=243152828;f[334]=2926;f[335]=329379927;f[336]=896160545;f[337]=2408;f[338]=167812001;f[339]=216758643;f[340]=253287221;
    f[341]=294994281;f[342]=313785635;f[343]=949486563;f[344]=46489602;f[345]=205731144;f[346]=3139;f[347]=2552;f[348]=270962932;f[349]=2581;f[350]=747536014;
    f[351]=559517020;f[352]=691504452;f[353]=2640;f[354]=936178016;f[355]=270020632;f[356]=4356;f[357]=679251333;f[358]=3360;f[359]=2730;f[360]=460748045;
    f[361]=2624190;f[362]=3435;f[363]=669268872;f[364]=334172790;f[365]=80069625;f[366]=978753869;f[367]=2852;f[368]=389086576;f[369]=980748370;f[370]=879627900;
    f[371]=191697606;f[372]=62528248;f[373]=2945;f[374]=376928566;f[375]=234374381;f[376]=743696112;f[377]=342266271;f[378]=229553181;f[379]=3040;f[380]=86304704;
    f[381]=319912198;f[382]=3824;f[383]=3104;f[384]=456014180;f[385]=767315472;f[386]=3904;f[387]=372608253;f[388]=5168;f[389]=3201;f[390]=851593334;
    f[391]=34475148;f[392]=776813524;f[393]=118533489;f[394]=4067;f[395]=124165684;f[396]=461120268;f[397]=3333;f[398]=4150;f[399]=554019519;f[400]=24380486;
    f[401]=3400;f[402]=948240916;f[403]=368810794;f[404]=5600;f[405]=100772050;f[406]=671149427;f[407]=877942283;f[408]=939442208;f[409]=3536;f[410]=504928656;
    f[411]=585867209;f[412]=5824;f[413]=268206895;f[414]=934037804;f[415]=986570502;f[416]=669929746;f[417]=343454580;f[418]=778379431;f[419]=3710;f[420]=335610456;
    f[421]=3745;f[422]=4664;f[423]=861186921;f[424]=595859187;f[425]=81465024;f[426]=747606243;f[427]=72802206;f[428]=6282;f[429]=481777696;f[430]=939025622;
    f[431]=3924;f[432]=179917090;f[433]=3960;f[434]=293274650;f[435]=108338739;f[436]=6516;f[437]=45617065;f[438]=961563981;f[439]=4070;f[440]=85432001;
    f[441]=173222533;f[442]=218768539;f[443]=4144;f[444]=285247559;f[445]=140137771;f[446]=5208;f[447]=692440708;f[448]=181485242;f[449]=4256;f[450]=503663955;
    f[451]=46525528;f[452]=7000;f[453]=769745987;f[454]=5396;f[455]=624680383;f[456]=36952570;f[457]=4408;f[458]=5491;f[459]=414821823;f[460]=525420403;
    f[461]=4485;f[462]=195576137;f[463]=4524;f[464]=141492500;f[465]=927048725;f[466]=5684;f[467]=4602;f[468]=917587263;f[469]=658763101;f[470]=227909764;
    f[471]=263377072;f[472]=134116266;f[473]=185971000;f[474]=526752805;f[475]=140092690;f[476]=572044619;f[477]=245196579;f[478]=5980;f[479]=4840;f[480]=251051250;
    f[481]=597521289;f[482]=6080;f[483]=901381976;f[484]=384464122;f[485]=873531291;f[486]=81799863;f[487]=5002;f[488]=536414764;f[489]=855737404;f[490]=351802543;
    f[491]=5084;f[492]=734795572;f[493]=148864986;f[494]=532754414;f[495]=902725507;f[496]=368561549;f[497]=540044894;f[498]=845857446;f[499]=5250;f[500]=46222437;
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}
void work(){
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    for(int i=4;i<=n;i++){
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        if(i%2==0)    dp[i]-=i/4;
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        if(dp[i]<0)    dp[i]+=mod;
    }
    more[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        more[i]=(more[i-1]*2)%mod;
        for(int j=2;i*j<=n;j++){
            dp[i*j]-=dp[i];
            if(dp[i*j]<0)    dp[i*j]+=mod;    
        }
    }
    return ;
}
int main(){
    freopen("b.in","r",stdin);
    freopen("b.out","w",stdout);
    pre();
    scanf("%d",&n);
    if(n<=1000){
        cout<<f[n];
        return 0;
    }
    else{
        work();
        for(int i=1;i*i<=n;i++){
            if(n%i!=0)    continue;
            ans=(ans+1ll*dp[i]*more[n/i])%mod;
            if(i*i!=n)
                ans=(ans+1ll*dp[n/i]*more[i])%mod;    
        }
        cout<<ans;
    }
}

c
【问题描述】
　　　　　　你是能看到第三题的 friends 呢。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　——aoao
　　　　在小学的时候，我们都学过正视图和左视图。现在何大爷用一些小方块摆了
　　一个图形，并给出了你这个图形的左视图和正视图。现在何大爷希望知道，在给
　　定正视图和左视图的情况下，原来的立体图形有多少种可能的情况？
【输入格式】
　　第一行两个整数n,m，代表在左视图和正视图中分别有多少列。
　　第二n个整数，代表在左视图中从左至右每一列的高度。
　　第三行m个整数，代表在正视图中从左至有每一列的高度。
【输出格式】
　　一行一个整数代表答案对10 ⁹ + 9取模之后的值。
【样例输入 1】
　　2 2
　　1 1
　　1 1
【样例输出 1】
　　7
【样例输入 2】
　　4 5
　　5 2 4 1
　　5 2 4 0 1
【样例输出 2】
　　429287
【数据规模与约定】
　　对于20%的数据，1 ≤ n,m ≤ 5，每列的最大高度不超过5。
　　对于40%的数据，n + m ≤ 18。
　　对于100%的数据，1 ≤ n,m ≤ 50，每列最大高度不超过10000。

以下解题思路转自xxy大佬的博客

思路：容斥原理

解决本题的关键：行交换。列交换对答案不影响

将左视图按从下往上递减，正视图从左往右递减排列

那整张图的高度从左下到右上呈阶梯状递减

这样所有高度相同的呈现倒‘L’形，如下图所示蓝色部分

如果我们按高度递减的顺序依次计算每个倒‘L’形的方案数，那么这些倒‘L’形相对独立

答案就是所有倒‘L’形答案的乘积

 

如何计算单个倒‘L’形的答案？——容斥原理

假设上图为已经按高度排好序的图

设当前正在处理高度为h的倒‘L’形

令nn表示当前有nn行的左视图高度为h，mm表示当前有mm列的主视图高度为h

n表示当前有n行的左视图高度>=h，m表示当前有m列的主视图高度>=h

定义性质pk表示 在这nn行mm列中，有k行/列不满足看到的高度为h

那根据容斥原理，

不具有任何一个性质p的方案和=

全集-Σ|pi|+Σ|pi∩pj|-Σ|pi∩pj∩pk|+…+（-1）^m*|p1∩p2∩…∩pm|

也就是所有方案-所有1行/列不满足条件的方案+所有2行/列不满足条件的方案-……

如何求有k行/列不满足条件的方案数？

设现在要求在倒‘L’形中，有i行j列不满足条件的方案数A，i+j=k

那么A分为两部分

① i行j列不能满足条件的部分：

当前高度为h，不能满足条件，每一个各自可以填[0,h-1],每个格子有h种方案

所以此时方案数=h^ （n*m-(n-i)*(m-j)）

② 倒‘L’形中其他位置可以任意填的部分

 当前高度为h，任意填就是可以填[0,h]，每个各自有h+1种方案

所以此时的方案数=（h+1）^（(n-i)*(m-j)-(n-nn)*(m-mm)）

这是选定i行j列，所以还要乘上在nn行中选i行，在mm列中选j列的方案

终上所述，每个倒‘L’形 的答案为 （-1）^（i+j）* C（nn，i）* C（mm，j）* h^ （n*m-(n-i)*(m-j)） * （h+1）^（(n-i)*(m-j)-(n-nn)*(m-mm)）

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define MAXN 10001
#define mod 1000000009
using namespace std;
int n,m;
int c[51][51];
int a[MAXN],b[MAXN];
void pre(int k){
    for(int i=0;i<=k;i++)    c[i][0]=1;
    for(int i=1;i<=k;i++)
        for(int j=1;j<=i;j++)
            c[i][j]=(c[i-1][j]+c[i-1][j-1])%mod;
}
int pow(int a,int b){
    int res=1;
    for(;b;b>>=1,a=1ll*a*a%mod)
        if(b&1)    res=1ll*res*a%mod;
    return res;
}
int cal(int n,int m,int nn,int mm,int h){
    int res=0,tmp;
    for(int i=0;i<=nn;i++)
        for(int j=0;j<=mm;j++){
            tmp=1ll*pow(h,n*m-(n-i)*(m-j))*pow(h+1,(n-i)*(m-j)-(n-nn)*(m-mm))%mod*c[nn][i]%mod*c[mm][j]%mod;
            if((i+j)&1)    res=((res-tmp)%mod+mod)%mod;
            else res+=tmp,res%=mod;
        }
    return res;
}
int main(){
    freopen("c.in","r",stdin);
    freopen("c.out","w",stdout);
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int x;
        scanf("%d",&x);
        a[x]++;
    }
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int x;
        scanf("%d",&x);
        b[x]++; 
    }
    pre(max(n,m));
    long long res=1;
    int nown=0,nowm=0;
    for(int i=10000;i>=0;i--)
        if(a[i]||b[i]){
            nown+=a[i];
            nowm+=b[i];
            res=1ll*res*cal(nown,nowm,a[i],b[i],i)%mod;
        }
    cout<<res;
}