区间DP 青蛙的烦恼

池塘中有n片荷叶恰好围成了一个凸多边形，有一只小青蛙恰好站在1号荷叶上，小青蛙想通过最短的路程遍历所有的荷叶（经过一个荷叶一次且仅一次），小青蛙可以从一片荷叶上跳到另外任意一片荷叶上。

输入数据(frog.in)

    第一行为整数n，荷叶的数量。
接下来n行，每行两个实数，为n个多边形的顶点坐标，按照顺时针方向给出。保证不会爆double。

输出数据(frog.out)：
遍历所有荷叶最短路程，请保留3位小数。

数据范围：n <= 720.

这道题一开始可能会想到是区间DP，用dp[i][j]表示走过i～j所有荷叶的最短距离，之后就不会转移了。

想一下问题出现的原因，首先我并不知道青蛙下一步会向哪跳，他有可能直接跳出这个区间，这样就不能很好的转移了。

但是问题恰恰在于考虑的东西太多了。我们不应该直接从一个大区间去考虑一个小区间。首先考虑一个结论：青蛙走过的路线一定不会相交，如果有相交，那么我们就可以把这两条相交的路径变为选取更相近的两条道路，这样肯定是比原来更短的。

于是我们就能推出，青蛙在一个点必然跳往下一个点，或者是末尾的一个点。（因为点都是沿着顺时针方向给出的）

那么我么就有了想法了，用dp[i][j][0/1]表示跳过i～j荷叶的最小距离，其中0/1表示从i/j开始跳，那么就有如下的转移方程：

     dp[i][j][0] = min(dp[i+1][j][0] + dis[i][i+1],dp[i+1][j][1] + dis[i][j]);
     dp[i][j][1] = min(dp[i][j-1][0] + dis[i][j],dp[i][j-1][1] + dis[j-1][j]);

最后结果即为dp[1][n][0](因为要求从1开始跳)

看一下代码。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<set>
#include<queue>
#define rep(i,a,n) for(int i = a;i <= n;i++)
#define per(i,n,a) for(int i = n;i >= a;i--)
#define enter putchar('
')

using namespace std;
typedef long long ll;
const int M = 10005;
const ll INF = 1000000009;
const int mod = 9397;

int read()
{
    int ans = 0,op = 1;
    char ch = getchar();
    while(ch < '0' || ch > '9')
    {
    if(ch == '-') op = -1;
    ch = getchar();
    }
    while(ch >= '0' && ch <= '9')
    {
    ans *= 10;
    ans += ch - '0';
    ch = getchar();
    }
    return ans * op;
}

struct point
{
   double x,y;
}p[1005];

double calc(int a,int b)
{
   return sqrt((p[a].x - p[b].x) * (p[a].x - p[b].x) + (p[a].y - p[b].y) * (p[a].y - p[b].y));
}

double dis[1005][1005],dp[1005][1005][2];
int n;

int main()
{
   n = read();
   rep(i,1,n) scanf("%lf%lf",&p[i].x,&p[i].y);
   rep(i,1,n)
   rep(j,i+1,n) dis[i][j] = dis[j][i] = calc(i,j);
   rep(i,1,n-1) dp[i][i+1][0] = dp[i][i+1][1] = dis[i][i+1];
   rep(L,2,n-1)
   {
      rep(i,1,n-L)
      {
     int j = i + L;
     dp[i][j][0] = min(dp[i+1][j][0] + dis[i][i+1],dp[i+1][j][1] + dis[i][j]);
     dp[i][j][1] = min(dp[i][j-1][0] + dis[i][j],dp[i][j-1][1] + dis[j-1][j]);
      }
   }
   printf("%.3lf
",dp[1][n][0]);
   return 0;
}