最大子序列问题及其求解C 语言学习

这两天看了看最大子序列问题，顺便的做一下笔记，最大子序列问题相信大家都再熟悉不过了，来回顾一下问题：

给定整数（可能有负数），求的最大值（为方便起见，如果所有整数均为负数，则最大子序列和为 0 ）。

下面来看三种实现方法：

1，使用两层 for 循环，算法复杂度显然是 O(N²)：

int MaxSubSequenceSum(const int A[], int N)
{
	int ThisSum, MaxSum, i, j;
	MaxSum = 0;
	for(i = 0; i < N; i ++)//外层的 for 循环
	{
		ThisSum = 0;
		for(j = i; j < N; j ++)//内层的 for 循环
		{
			ThisSum += A[j];
			if(ThisSum > MaxSum)
				MaxSum = ThisSum;
		}
	}
	return MaxSum;
}

这种方法似乎是我们最先想到的解决办法，当然也很好理解。

2，使用“分治（divide-and-conquer）”的策略，其想法是把问题分成两个大致相等的子问题，然后递归的对它们进行求解，其算法复杂度是 O(N logN)：

为了便于理解，再来解释一下这种方法：在我们的例子当中，最大子序列和可能出现在三处，或者整个出现在输入数据的左半部，或者整个出现在右半部，或者跨越输入数据的中部从而占据左右两半部分。前两种情况可以递归地进行求解，第三种情况的最大和可以通过求出前半部分的最大和（包含前半部分的最后一个元素）以及后半部分的最大和（包含后半部分的第一个元素）而得到。然后将这两个和加在一起。作为一个例子，考虑如下的输入：

-------------------------
 前半部分    |     后半部分
-------------------------
 4 -3 5 -2     -1 2 6 -2
-------------------------

其中前半部分的最大子序列和为 6（A1 –> A3），后半部分的最大子序列和为 8 （A6 –> A7）。

前半部分包含最后一个元素的最大和为 4 （A1 –> A4），后半部分包含其第一个元素的最大和为 7 （A5 –> A7）。因此，横跨这两部分且通过中间的最大和为 4 + 7 = 11 （A1 –> A7）。

于是，答案为 11。再来看看实现代码：

//主函数
static int MaxSubSum(const int A[], int Left, int Right)
{
	int MaxLeftSum, MaxRightSum;
	int MaxLeftBorderSum, MaxRightBorderSum;
	int LeftBorderSum, RightBorderSum;
	int Center, i;
	
	if(Left == Right) /*基准情况*/
		if(A[Left] > 0)
			return A[Left];
		else
			return 0;
	
	/*处理递归*/
	Center = (Left + Right) / 2;
	MaxLeftSum = MaxSubSum(A, Left, Center);
	MaxRightSum = MaxSubSum(A, Center + 1, Right);
	
	MaxLeftBorderSum = 0;LeftBorderSum = 0;
	for(i = Center; i >= Left; i --)
	{
		LeftBorderSum += A[i];
		if(LeftBorderSum > MaxLeftBorderSum)
			MaxLeftBorderSum = LeftBorderSum;
	}
	
	MaxRightBorderSum = 0;RightBorderSum = 0;
	for(i = Center + 1; i <= Right; i ++)
	{
		RightBorderSum += A[i];
		if(RightBorderSum > MaxRightBorderSum)
			MaxRightBorderSum = RightBorderSum;
	}
	//处理完毕，找出和最大的一个子序列
	return Max3(MaxLeftSum, MaxRightSum, MaxLeftBorderSum + MaxRightBorderSum);
}
//调用函数
int MaxSubSequenceSum(const int A[], int N)
{
	return MaxSubSum(A, 0, N - 1);
}
//比较函数
int Max3(int x, int y, int z)
{
	return (((x > y)?x:y) > z)?((x > y)?x:y):z;
}

3，使用一次 for 循环，算法复杂度为 O(N)：

这个算法乍看上去不是很好理解，不过它的效率却是这三个当中最高的一个，仔细地琢磨的话会理解这个神奇的算法的：

int MaxSubSequenceSum(const int A[], int N)
{
	int ThisSum, MaxSum, j;
	ThisSum = MaxSum = 0;
	for(j = 0; j < N; j ++)
	{
		ThisSum += A[j];
		if(ThisSum > MaxSum)
			MaxSum = ThisSum;
		else if(ThisSum < 0)
			ThisSum = 0;
	}
	return MaxSum;
}