火柴排队（树状数组求逆序对）

火柴排队

来源：
2013年NOIP全国联赛提高组
题目描述：
涵涵有两盒火柴，每盒装有 n 根火柴，每根火柴都有一个高度。现在将每盒中的火柴各自排成一列，同一列火柴的高度互不相同，两列火柴之间的距离定义为：
，其中 ai表示第一列火柴中第 i 个火柴的高度，bi表示第二列火柴中第 i 个火柴的高度。
每列火柴中相邻两根火柴的位置都可以交换，请你通过交换使得两列火柴之间的距离最小。请问得到这个最小的距离，最少需要交换多少次？如果这个数字太大，请输出这个最小交换次数对 99,999,997 取模的结果。
输入描述：
共三行，第一行包含一个整数 n，表示每盒中火柴的数目。
第二行有 n 个整数，每两个整数之间用一个空格隔开，表示第一列火柴的高度。
第三行有 n 个整数，每两个整数之间用一个空格隔开，表示第二列火柴的高度。
输出描述：
输出共一行，包含一个整数，表示最少交换次数对 99,999,997 取模的结果。
样例输入：
[Sample 1]
4
2 3 1 4
3 2 1 4
[Sample 2]
4
1 3 4 2
1 7 2 4
样例输出：
[Sample 1]
1
[Sample 2]
2
数据范围及提示：
【样例1说明】
最小距离是 0，最少需要交换 1 次，比如：交换第 1 列的前 2 根火柴或者交换第 2 列的前 2 根火柴。
【样例2说明】
最小距离是 10，最少需要交换 2 次，比如：交换第 1 列的中间 2 根火柴的位置，再交换第 2 列中后 2 根火柴的位置。
【数据范围】
对于 10%的数据， 1 ≤ n ≤ 10；
对于 30%的数据，1 ≤ n ≤ 100；
对于 60%的数据，1 ≤ n ≤ 1,000；
对于 100%的数据，1 ≤ n ≤ 100,000，0 ≤火柴高度≤ 2^31 - 1。
思路：
典型的数论题。给定了两列火柴（两个数列），根据题目要求，可将拆分为许多独立的个体：（a[i]-b[i]）^2,拆开为：a^2+b^2-2ab,若使该式尽可能小，则2ab应尽可能大。那么下一步就考虑如何使a[i]*b[i]尽可能大，根据排序不等式：反序和≤乱序和≤同序和 可得：a[i]*b[i]按照“同序”的方式排列起来是最大的，那么什么是同序？举个例子：在有序数列1、2、3和有序数列4、5、6中，1*4,2*5,3*6就是同序，1*4+2*5+3*6就是同序和，所以应该先排序！那么目前的这个问题就解决了，那么解决这个问题是用来做什么的呢？答案是：找到一种两个数列之间的对应关系，求逆序对！使a中的第几大对应b中的第几大（这就是排序的目的），然后生成数列，在生成的数列中找出逆序对的个数，就是最终的答案了。
举个例子：
火柴a：1 2 4 3
火柴b：1 4 2 3
显然只需交换一步就出答案，答案为：1
如何得出：
把火柴a看为不动的，只移动火柴b。
排序之后：
火柴a为：1（1）、2（2）、3（4）、4（3），
同样b为：1（1）、2（3）、3（4）、4（2）。
（括号中的为该数字在原数列中的id）
然后以排序后a中元素的id为下标，b中元素的下标为元素，生成数列x
x[1]=1 x[2]=3 x[4]=4 x[3]=2
也就是：x[4]={1 3 2 4}
x中逆序对为{3,2}，仅此一对，所以ans=1.
完成！

下面给出树状数组求逆序对的代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int mod=99999997;
const int maxn=100010;
struct node
{
    int id;
    int sum;
}a[maxn],b[maxn];
int la[maxn],lb[maxn];
int n,ans,c[maxn],x[maxn];
bool cmp(node x,node y)
{
    return x.sum<y.sum;
}
int lowbit(int x)
{
    return x&(-x);
}
void add(int x)
{
    for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))
    c[i]++;
}
int getsum(int x)
{
    int sum=0;
    for(int i=x;i;i-=lowbit(i))
    sum=(sum+c[i])%mod;
    return sum%mod;
}
int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    cin>>a[i].sum,a[i].id=i;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    cin>>b[i].sum,b[i].id=i;
    sort(a+1,a+n+1,cmp);
    sort(b+1,b+n+1,cmp);
    for(int i=1;i<=n;i++)//找一种对应关系，生成数列x
    x[a[i].id]=b[i].id;
    for(int i=n;i>=1;i--)//求数列x中的逆序对个数，得出答案
    {
        add(x[i]);
        ans=(ans+getsum(x[i]-1))%mod;
    }
    cout<<ans%mod;
    return 0;
}