逆元（inv）

推荐博客 ： http://blog.csdn.net/baidu_35643793/article/details/75268911

通常我们在计算除法取模时，并不能直接的取模后再去相除，答案会有问题，在这里我们就引入逆元的，(a/b)%mod = (a*c)%mod , 在这里 c 是 b 的逆元。

 即 a/b 的模等于 a*b 的逆元的模；

求逆元的方法 ：

（1） 费马小定理

　　在是素数的情况下，对任意整数都存在逆元。

　　题目中给定的对 P 去模，且 P 是素数，则数X的逆元就是 X^(p-2) 。

　代码示例 ：

const ll mod = 998244353;

ll qpow(ll x, ll cnt){
    
    ll ans = 1;
    while(cnt > 0){
        if (cnt&1) ans = (ans*x)%mod;
        x = (x*x)%mod;
        cnt >>= 1;
    }
    return ans;
}

 注意  : 最后的答案一定要在取一次模才可以 ！

 （2）扩展欧几里得

同余方程 ax = b (mod n) , 当 b = 1 时， ax = 1 (mod n) ， 此时称 x 为 a 对模 n 得乘法逆元， 那么就可以转换为 ax - ny = 1 ，逆元存在得条件时 gcd(a, n) = 1 。

代码示例：

void exgcd(ll a, ll b, ll &g, ll &x, ll &y){
    if (b == 0) {g = a; x = 1; y = 0;}
    else {
        exgcd(b, a%b, g, y, x);
        y -= (a/b)*x;
    }
}

ll inv(ll a, ll n){
    ll d, x, y;
    exgcd(a, n, d, x, y);
    return d == 1?(x+n)%n:-1;
}

 (3) 欧拉函数

当 p 是素数的时候，由费马小定理值 a^(p) = a (mod p) , 那么则有 a ^ (p-1) = 1 (mod p) , 在变形则由 a ^ (p-2) = a^(-1) (mod p)

当 p 不是素数得时候，这时候就需要借助欧拉函数,

a^(phi(p)) = 1 (mod p)

a*a^(phi(p)-1)≡1      (mod p)

a^(-1)≡a^(phi(p)-1)  (mod p)