尼姆博弈

问题描述 ：

　　有N堆物品，其中第 i 堆有 pi 个物品，每次从一堆中选出若干个物品去掉（但不能为 0 ），两人轮流取物品，谁不能取谁就输了，问什么情况下会先手必胜？

　　

代码示例 ：

int main() {
    //freopen("in.txt", "r", stdin);
    //freopen("out.txt", "w", stdout);
    int n, x;
    
    while(~scanf("%d", &n)){
        int s = 0;
        for(int i = 1; i <= n; i++){
            scanf("%d", &x);
            s ^= x;
        }
        if (s == 0) puts("No");
        else puts("Yes");
    }
    return 0;
}

尼姆博弈有几种经典的扩展形式

1 . 限定每次取物的上限

　问题 : 有 n 堆物品，其中第 i 堆有 pi 个物品，每次将去掉某一堆里最多的 m 个物品（m > 0）,两人轮流取物品，谁不能取谁就输了

　结论 ： 分别将 pi 对 m +1 取余，等到一组新的 pi 值，然后取将这组 pi值取异或，记结果为 s，若 s 为0，则为 p 局面，否则是 N局面

　证明 ： 进行过上述操作后，可以得到两组数据，一组是新的 pi 值， 一组是 ri 值，表示 m+1 的整倍数，当先手这个人面对N居民，就按照Nim 的取法在pi 堆中取，当输的人如果在 ri 堆中取时，此时先手的人则在 ri 堆中选取 m+1-k 个即可。