概率与期望学习笔记

　　据说，今年要考一道比换教室还难的概率/期望题。

　　有点慌。

　　那我就来学学概率和期望吧

　　以下中文名为自翻   文笔差见谅

　　A-A Dangerous Maze 　　危险的迷宫

　　就是你有n种选择，每次你会等概率选择其中一个。如果你选择了一个正数X，那X分钟之后游戏结束。如果选择的是个负数X，那X分钟之后重新选择。问游戏结束时间的期望。

　　样例：

　　3

　　3 -6 -9

　　Output：18

　　以该样例举例，设我们要算的期望是x，则有　　x=(3+(6+x)+(9+x))/3

　　解释：如果选3的话，则在三分钟后游戏结束，期望时间是3/3.

　　　　　如果选-6的话，那就是6分钟之后重新再选一次。因为六分钟之后重新再选的那次跟现在这次是一模一样的，所以重选期望跟当前期望相等，为x。同时我们还得等6分钟，所以期望是(6+x)/3.

　　　　　-9同理；

　　所以我们解这个方程就得到了x的值。

　　

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cctype>

inline long long read(){
    long long num=0,f=1;
    char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){
        if(ch=='-')    f=-1;
        ch=getchar();
    }
    while(isdigit(ch)){
        num=num*10+ch-'0';
        ch=getchar();
    }
    return num*f;
}

int w,tot;

int gcd(int a,int b){    return (!b)?a:gcd(b,a%b);    }

int main(){
    int T=read();
    for(int l=1;l<=T;++l){
        int n=read();w=tot=0;
        printf("Case %d: ",l);
        for(int i=1;i<=n;++i){
            int s=read();
            if(s<0){    w++;    s=-s;    }
            tot+=s;
        }
        int a=tot,b=n-w;
        if(!b){
            printf("inf
");
            continue;
        }
        int c=gcd(a,b);
        a/=c;b/=c;
        printf("%d/%d
",a,b);
    }
    return 0;
}

　　B-Discovering Gold　　掘金

　　有n个数排成一排，你一开始在位置1。每次你等概率掷出1~6点，然后你将向前走你掷出的点数并且获得新位置上的数。如果新位置超出了n的范围，那你就再扔一次。求最后你期望获得多少。

　　发个聊天截图好了

　　

　　这样。

　　

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cctype>
#include<cstring>
#include<algorithm>

inline long long read(){
    long long num=0,f=1;
    char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){
        if(ch=='-')    f=-1;
        ch=getchar();
    }
    while(isdigit(ch)){
        num=num*10+ch-'0';
        ch=getchar();
    }
    return num*f;
}

double f[100200];
int cnt;

int main(){
    int T=read();
    while(T--){
        cnt++;
        int n=read();
        for(int i=1;i<=n;++i)    f[i]=read();
        for(int i=n-1;i;--i){
            int now=std::min(i+6,n);
            int tot=0;double start=0;
            for(int j=i+1;j<=now;++j){
                tot++;
                start+=f[j];
            }
            f[i]+=start/tot;
        }
        printf("Case %d: %.10lf
",cnt,f[1]);
    }
    return 0;
}

 　　C-Race to 1 Again　　分解竞速

　　这道题是我自己想出来的！

　　以6举例吧  好想点

　　首先设f(6)是对6进行操作的期望

　　那么有公式f(6)=　(　f(1)+1+f(2)+1+f(3)+1+f(6)+1　　)/4

　　很好想

　　然后对这个公式变形得到f(6)=(　　f(1)+f(2)+f(3)+f(6)+4　　)/4

　　因此f(6)-f(6)/4=　(f(1)+f(2)+f(3)+4)/4

　　因此f(6)=(f(1)+f(2)+f(3)+4)/3

　　这样就很好做啦

　　

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<cctype>
#include<cstring>
#include<algorithm>

inline long long read(){
    long long num=0,f=1;
    char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){
        if(ch=='-')    f=-1;
        ch=getchar();
    }
    while(isdigit(ch)){
        num=num*10+ch-'0';
        ch=getchar();
    }
    return num*f;
}


double f[200000];

double dfs(int x){
    if(f[x]||x==1)    return f[x];
    double ans=0;
    int    tot=0,s=sqrt(x);
    for(int i=2;i<=s;++i){
        if(x%i==0){
            tot++;
            ans+=dfs(i)+1;
            if(i*i!=x){    tot++;    ans+=dfs(x/i)+1;    }
        }
    }
    tot+=2;    ans+=2;
    ans/=(tot-1);
    return ans;
}

int main(){
    int T=read(),cnt=0;
    while(T--){
        int n=read();
        printf("Case %d: %.10lf
",++cnt,dfs(n));
    }
    return 0;
}