对于应用贝叶斯理论的人来说，当你观察一个事件x ,你预估计并给出其内部参数θ ，表示你对于事件x 发生的置信程度。
如果你熟悉贝叶斯方法，当你每次观测到新的x 数据时你就会更新你预先给出的参数θ。那么就要问了，你新观测到的x 样本点对于你改变样本参数θ 的影响有多大？这就取决与你一开始对参数θ的确定程度。如果你给出的参数θ 基于你经过上千上万次认真实验得到的因此你很确定你的参数值，那么单一的新数据不会对参数有多大影响。但是如果你的参数θ的估计仅仅是从一个不可靠的朋友那听来的，那么新数据对于你重新估计参数值θ 的影响就会大很多。
当然，当你重新估计θ的时候,你也要重新估计你新参数值的确定程度(置信程度)。换个方式说，你就是要计算θ 的可能值的新概率分布。新概率分布为P(θ|x)，其计算可以使用贝叶斯法则： P(θ|x)=P(x|θ)P(θ)/∫P(x|θ)P(θ)dθ
P(x|θ)表示以预估θ 为参数的x 概率分布，可以直接求得。P(θ)是已有原始的θ 概率分布。不同设定参数的精确度决定了你对θ 的置信程度。所以分子部分可以直接计算求得。分母部分的计算很棘手。对于任意分布形式，积分计算可能会有很多困难。也许你并不是想找出参数θ 的整个分布。你只是想求得一个最优值来做预测。如果这是你的目标，那你就可以选取分布P(θ |x)，求θ 的值使得P(θ |x)最大，作为新的参数。由于我们已经获得了P(θ |x)的形式，所以可以得到对于参数的置信程度。（可以理解为最大似然法求参数）实际中，利用最大似然法求参数θ 通常很困难。因为有局部最优解的存在，还有优化问题中的一些普遍问题。对于足够简单的分布，可以利用EM 算法保证参数收敛到一个局部最优解。但是对于复杂得多的分布，这个方法就变得力不从心，这就要利用近似算法。所以要尽量保证P(x|θ)和P(θ)简单。P(x|θ)分布的选择是模型选择的问题，选择复杂的模型可以更好的反应数据的深层形式，但也会增加更多的时间和内存开销。
假设在确定P(θ)分布形式之前我们先选择模型的形式。那么如何确定P(θ)的最佳的分布形式？注意每次你观测一个新数据的时候，你就要计算一次上面等式。这样在观察数据的过程中，你就要乘上许多不同的概率布。如果P(θ)分布没有选择好，P(θ)会很快变得非常麻烦。聪明的你会发现，选取P(θ)作为P(x|θ)分布的共轭先验。如果P(x|θ)乘以P(θ)然后归一化结果后其形式和P(θ)的形式一样，那么我们就说P(θ)共轭于P(x|θ)。
注：P(x|θ)我们也称作似然函数。先验概率P(θ)和似然函数的乘积，然后归一化得到后验概率P(θ|x)。共轭先验的定义为：如果后验概率分布和先验概率分布有相同的形式（如同为指数族分布），则后验概率分布和先验概率分布统称共轭分布。那么先验概率P(θ)称为似然函数的共轭先验。
考虑一个离散情况的例子：投掷一个非均匀硬币（正反面概率不相等），可以使用参数为θ 伯努利模型，那么结果x 的分布形式为：（关于伯努利分布可以参考其他资料）
P(x|θ)=θx(1-θ)1-x
其共轭先验为beta 分布，具有两个参数α 和β ，我们称之为超参数（hyperparameters）。简单解释就是，这两个参数决定了我们的θ 参数。
Beta 分布形式为：
P(x|α,β)=θα-1(1-θ)β-1/∫10θα-1(1-θ)β-1dθ
同样θ 为硬币为正面的概率。取值范围为0 到1。所以这个方程是归一化的方程。
假如你观察一次投硬币x 事件然后要更新关于参数θ 的置信度。Beta函数的分母是一个归一化测常数，计算P(θ |x)的时候可以忽略它，只要计算完后再归一化即可。
可以看出，beta 分布和二项式分布几乎是一样的。他们最大的不同点是，beta 分布是带有预设定参数α 和β 关于θ 的函数。而二项分布是带有预设定参数θ 和α+β 关于α 的函数。很显然beta 分布共轭于二项式分布。另外一个区别是：beta 分布用伽马函数作为归一化系数，而二项分布使用阶乘系数。回忆伽马函数只是将系数向实数域的一个扩展。这样就允许α 和β 为任意正实数。而二项式的系数只能定义为任意正整数。关于更多关于二项分布， beta 分布， gama 函数的内容见链接http://www.mhtl.uwaterloo.ca/courses/me755/web_chap1.pdf。
现在想一下这些问题，共轭先验有什么意义？它仅仅是我们的一种数学计算工具吗？答案显然不是，它有更深的意义对于beta 分布的形式。考虑上面的内容，如果你已经观察了很多数据，那么再观察另外一个数据对于你对模型的认识并不会改变多少。如果，你仅仅一开始观测了少量数据，那么观察另外的单一数据对于你的模型参数置信度影响就会很大。你可以通过共轭先验的形式获得这个直觉上的判断。
考虑投硬币的例子，我们设α 和β 为得到正面和反面的次数，将其作为beta 分布的参数，实验有两种情况：第一种我们投10 次，3 次正面7 次反面。第二种投10000 次，3000 次正面，7000次反面。从这个beta 分布中很容易得到两种情况下各自“声称正面概率为30%”的置信度的不同。（如果我们对一个模型没有任何先验知识，我们可以将beta 分布的两个参数α 和β 都等于1，beta 分布变成均匀分布。或者将两个系数都等于N+1。将这个两个超参数设为小于1 的值，那么模型就具有了“负数据”，可以让我们避免对于真实数据中带有噪音的参数θ 过度拟合。）
注：上面一段有异议，关于两个参数α 和β 都等于1，表示模型没有先验知识是有争议的。Haldane 先验 alpha = beta = 0 and Jeffreys' 先验模型, alpha = beta = 0.5。
概括一下，beta 分布是伯努利分布和二项式分布的共轭先验。在做贝叶斯理论相关计算时非常有用和有效。也可使用实数和虚数的先验数据。其他共轭先验如狄利克雷分布是多项式分布的共轭先
验，原理是相似的。
关于共轭先验的关系可以看这里。
http://www.johndcook.com/conjugate_prior_diagram.html#binomial
原文作者：TCB
原文链接：http://lesswrong.com/lw/5sn/the_joys_of_conjugate_priors/
翻译：赵常凯