[转]机器学习中的相似性度量

在做分类时常常需要顾及不同样本之间的相似性度量（Similarity Measurement），这时通常采用的方法就是计算样本之间的“距离”（Distance）。采用什么样的方法计算距离是很讲究的，甚至关系到分类的正确与否。本文的目的就是对常用的相似性度量做一个总结。

目录：

1. 欧氏距离

2. 曼哈顿距离

3. 切比雪夫距离

4. 闵可夫斯基距离

5. 标准化欧氏距离

6. 马氏距离

7. 夹角余弦

8. 汉明距离

9. 杰卡德距离 & 杰卡德相似系数

10. 相关系数 & 相关距离

11. 信息熵

1. 欧氏距离（Euclidean Distance）

欧氏距离是最易理解的一种距离计算方法，源自欧氏空间中两点间的距离公式。

（1） 二维平面上两点a(x1,y1)与b(x2,y2)间的欧氏距离：

（2） 三维空间两点a(x1,y1,z1) 与 b(x2,y2,z2)间的欧氏距离：

（3） 两个n维向量a(x11,x12,…,x1n) 与b(x21,x22,…,x2n) 间的欧氏距离：

也可以表示成向量运算的形式：

（4） Matlab计算欧氏距离：

Matlab计算距离主要使用pdist函数。若X是一个M*N的矩阵，则pdist(X)将X矩阵M行的每一行作为一个N维向量，然后计算这M个向量两辆间的距离。

例子：

计算向量(0,0) 、(1,0) 、(0,2) 两两间的欧氏距离。Matlab命令如下：

X = [0 0; 1 0; 0 2]

D = pdist(X , ’euclidean’)

结果：

D =

1.0000 2.0000 2.2361

2. 曼哈顿距离（Manhattan Distance）

从名字就可以猜出这种距离的计算方法了，想象你在曼哈顿要从一个十字路口开车到另一个十字路口，驾驶距离是两点间的直线距离吗？显然不是！实际驾驶距离就是这个“曼哈顿距离”，而这也是曼哈顿距离名称的来源，曼哈顿距离也称为城市街区距离（City Block Distance）。

（1） 二维平面两点a(x1,y1) 与 b(x2,y2) 间的曼哈顿距离：

（2） 两个n维向量a(x11,x12,…,x1n) 与 b(x21,x22,…,x2n) 间的曼哈顿距离：

（3） Matlab 计算曼哈顿距离：

计算向量(0,0) 、(1,0) 、(0,2) 两两间的曼哈顿距离。Matlab命令如下：

X = [0 0; 1 0; 0 2]

D = pdist(X , ’cityblock’)

结果：

D =

1 2 3

3. 切比雪夫距离（Chebyshev Distance）

在国际象棋中，国王走一步能够移动到相邻的8个方格中的任意一个。那么国王从（x1,y1）走到方格（x2,y2）最少需要的步数为：max(|x2-x1|, |y2-y1|)。类似的一种距离度量方法叫做切比雪夫距离。

（1） 二维平面两点a(x1,y1) 与 b(x2,y2) 间的切比雪夫距离：

（2） 两个n维向量a(x11,x12,…,x1n) 与 b(x21,x22,…,x2n) 间的切比雪夫距离：

这个公式的另一种等价形式是：

看不出这两个公式是等价的？提示一下：试试用放缩法和夹逼法则来证明。

（3） Matlab 计算切比雪夫距离：

计算向量(0,0) 、(1,0) 、(0,2) 两两间的切比雪夫距离。Matlab命令如下：

X = [0 0; 1 0; 0 2]

D = pdist(X , ’chebychev’)

结果：

D =

1 2 2

4. 闵可夫斯基距离（Minkowski Distance）

闵氏距离不是一种距离，而是一组距离的定义。

（1） 闵氏距离的定义：

两个n维向量a(x11,x12,…,x1n) 与 b(x21,x22,…,x2n) 间的闵可夫斯基距离定义为：

其中p是一个变参数。

当p=1时，就是曼哈顿距离

当p=2时，就是欧氏距离

当p时，就是切比雪夫距离

根据变参数的不同，闵氏距离可以表示一类的距离。

（2） 闵氏距离的缺点：

闵氏距离，包括曼哈顿距离、欧氏距离和切比雪夫距离都存在明显的缺点。

举个例子：二维样本（身高，体重），其中身高的范围是150~190，体重范围是50~60，有三个样本：a（180,50），b（190,50），c（180,60）。那么a与b之间的闵氏距离（无论是曼哈顿距离、欧氏距离还是切比雪夫距离）等于a与c之间的闵氏距离，但是身高10cm真的等于体重10kg吗？因此，用闵氏距离来衡量这些样本间的相似度有很有问题。

简单来说，闵氏距离的缺点主要有两个：

1、 将各分量的量纲（Scale）也就是“单位”，当作相同的看待了。

2、 没有考虑各个分量的分布（期望、方差）可能是不同的。

（3） Matlab 计算闵氏距离：

计算向量(0,0) 、(1,0) 、(0,2) 两两间的闵氏距离（以变参量为2的欧氏距离为例）。Matlab命令如下：

X = [0 0; 1 0; 0 2]

D = pdist(X , ’minkowski’, 2)

结果：

D =

1.0000 2.0000 2.2361

5. 标准化欧氏距离（Standardized Euclidean Distance）

（1） 标准化欧氏距离的定义

标准化欧氏距离是针对简单欧氏距离的缺点而作的一种改进方案。标准欧氏距离的思路：

既然数据各维分量的分布不一样，好吧，那我们先将各分量都“标准化”到均值、方差相等。均值和方差标准化到多少？这里我们先复习点统计学知识，假设样本X的均值（mean）为m，标准差（standard deviation）为s，那么X的“标准化变量”表示为：

而且标准化变量的数学期望为0，方差为1.因此样本集的标准化过程（standardization）用公式描述就是：

标准化后的值=（标准化前的值 – 分量的均值）/分量的标准差

经过简单的推导就可以得到两个n维向量a(x11,x12,…,x1n) 与 b(x21,x22,…,x2n)间的标准化欧氏距离的公式：

如果将方差的倒数看成是一个权重，这个公式可以看成是一种加权欧氏距离（Weighted Euclidean Distance）。

（2） Matlab 计算标准化欧氏距离

计算向量(0,0) 、(1,0) 、(0,2) 两两间的标准化欧氏距离（假设两个分量的标准差为0.5 和 1）。Matlab命令如下：

X = [0 0; 1 0; 0 2]

D = pdist(X , ’seuclidean’, [0.5, 1])

结果：

D =

2.0000 2.0000 2.8284

6. 马氏距离（Mahalanobis Distance）

（1） 马氏距离的定义：

有M个样本向量X1~Xm，协方差矩阵为S，均值记为，则其中样本向量X到的马氏距离表示为：

而其中向量Xi与Xj之间的马氏距离定义为：

若协方差矩阵是单位矩阵（各个样本向量之间独立同分布），则公式就变为：

也就是欧氏距离了。

若协方差矩阵是对角矩阵，则公式变成了标准化欧氏距离。

（2） 马氏距离的优缺点：

马氏距离与量纲无关，排除了变量之间的相关性的干扰。

（3） Matlab 计算马氏距离：

计算（1,2），（1,3），（2,2）和（3,1）两两之间的马氏距离。Matlab代码如下：

X = [1 2; 1 3; 2 2; 3 1]

Y = pdist(X, ‘mahalanobis’)

结果：

Y =

2.3452 2.0000 2.3452 1.2247 2.4495 1.2247

7. 夹角余弦（Cosine）

几何中夹角余弦可以用来衡量两个向量方向的差异，机器学习中借用这一概念来衡量样本向量之间的差异。

（1） 二维向量A(x1,y1) 与 B(x2,y2) 的夹角余弦公式为：

（2） 两个n维样本a(x11,x12,…,x1n) 和 b(x21,x22,…,x2n) 的夹角余弦

即：

夹角余弦取值范围为[-1,1]。夹角余弦越大表示两个向量的夹角越小，夹角余弦越小表示两个向量的夹角越大。当两个向量的方向重合时夹角余弦取最大值1，当两个向量的方向完全相反时夹角余弦取最小值-1.

（3） Matlab 计算夹角余弦

计算（1,0）、（1,1.732）、（-1,0）两两之间的夹角余弦。Matlab代码如下：

X = [1 0; 1 1.732; -1 0]

Y = 1 - pdist(X, ‘cosine’) %Matlab中的pdist(X, ‘cosine’)得到的是1减夹角余弦的值

结果：

D =

0.5000 -1.0000 -0.5000

8. 汉明距离（Hamming Distance）

（1） 汉明距离的定义：

两个等长的字符串s1与s2之间的汉明距离定义为将其中一个变为另一个所需要作的最小替换次数。例如字符串“1111”与字符串“1001”之间的汉明距离为2。

应用：信息编码（为了增强容错性，应使得编码间的最小汉明距离尽可能大）。

（2） Matlab 计算汉明距离

Matlab中两个向量之间的汉明距离的定义为两个向量不同的分量所占的百分比。

计算向量(0,0) 、(1,0) 、(0,2) 两两间的汉明距离。Matlab代码如下：

X = [0 0; 1 0; 0 2]

D = pdist(X, ‘hamming’)

结果：

D =

0.5000 0.5000 1.0000

9. 杰卡德相似系数（Jaccard Similarity Coefficient）

（1） 杰卡德相似系数

两个集合A和B的交集元素在A，B的并集中所占的比例，称为两个集合的杰卡德相似系数，用符号J(A,B)表示：

杰卡德相似系数是衡量两个集合的相似度的一种指标。

（2） 杰卡德距离

与杰卡德相似系数相反的概念是杰卡德距离（Jaccard Distance），可用如下公式表示：

杰卡德距离用两个集合中不同元素占所有元素的比例来衡量两个集合的区分度。

（3） 杰卡德相似系数与杰卡德距离的应用

可将杰卡德相似系数用在衡量样本的相似度上。

样本A与样本B是两个n维向量，而且所有维度的取值都是0或1。我们将样本看成一个集合，1表示集合包含该元素，0表示集合不包含该元素。

P：样本A与B都是1的维度的个数

q：样本A是1，样本B是0的维度的个数

r：样本A是0，样本B是1的维度的个数

s：样本A与B都是0的维度的个数

那么样本A与B的杰卡德相似系数可表示为：

这里p+q+r可以理解为A与B的并集元素的个数，而p是A与B的交集的元素个数。

而样本A与B的杰卡德距离表示为：

（4） Matlab 计算杰卡德距离

Matlab中的pdist函数中定义的杰卡德距离跟我们这里的定义有一些差别，Matlab中将其定义为不同维度的个数占“非全零维度”的比例。

计算（1,1,0）、（1,-1,0）、（-1,1,0）两两间的杰卡德距离。Matlab代码如下：

X = [1 1 0; 1 -1 0; -1 1 0]

D = pdist(X, ‘jaccard’)

结果：

D =

0.5000 0.5000 1.0000

10. 相关系数（Correlation Coefficient）与相关距离（Correlation Distance）

（1） 相关系数的定义：

相关系数是衡量随机变量X与Y相关程度的一种方法，相关系数的取值范围是[-1,1]。相关系数的绝对值越大，则表明X与Y相关度越高。当X与Y线性相关时，相关系数取值为1（正线性相关）或-1（负线性相关）。

（2） 相关距离的定义：

（3） Matlab计算相关系数与相关距离

计算（1,2,3,4）与（3,8,7,6）之间的相关系数与相关距离。Matlab代码如下：

X = [1 2 3 4; 3 8 7 6]

C = corrcoef(X’) %将返回相关系数矩阵

D = pdist(X, ‘correlation’)

结果：

C =

1.0000 0.4781

0.4781 1.0000

D =

0.5219

其中，0.4781就是相关系数，0.5219就是相关距离。

11. 信息熵（Information Entropy）

信息熵是衡量分布的混乱程度或离散程度的一种度量。分布越分散（或者说分布越平均），信息熵就越大。分布越有序（或者说分布越集中），信息熵就越小。给定样本集X的信息熵的计算公式：

参数的含义：

n：样本集X的分类数。

：X中第i类元素出现的概率。

信息熵越大表明样本集X分类越分散，信息熵越小则表明样本X分类越集中。当X中n个分类出现的概率一样大时（都是1/n），信息熵取最大值 。当X中只有一个分类时，信息熵取最小值0。

原文地址：http://www.cnblogs.com/heaad/archive/2011/03/08/1977733.html