特征值和特征向量的几何意义、计算及其性质

一、特征值和特征向量的几何意义

特征值和特征向量确实有很明确的几何意义，矩阵（既然讨论特征向量的问题，当然是方阵，这里不讨论广义特征向量的概念，就是一般的特征向量）乘以一个向量的结果仍是同维数的一个向量。因此，矩阵乘法对应了一个变换，把一个向量变成同维数的另一个向量。

那么变换的效果是什么呢？这当然与方阵的构造有密切的关系，比如可以取适当的二维方阵，使得这个变换的效果就是将平面上的二维变量逆时针旋转30度。这时，我们可以思考一个问题，有没有向量在这个变换下不改变方向呢？可以想一下，除了零向量，没有其他向量可以在平面上旋转30度而不改变方向的，所以这个变换对应的矩阵（或者说这个变换自身）没有特征向量（注意：特征向量不能是零向量）。

综上所述，一个变换（或者说矩阵）的特征向量就是这样一种向量，它经过这种特定的变换后保持方向不变，只是进行长度上的伸缩而已。再想想特征向量的原始定义：

可以很容易看出，cx是方阵A对向量x进行变换后的结果，显然cx和x的方向相同。而且x是特征向量的话，ax也是特征向量（a是标量且不为零），所以特征向量不是一个向量而是一个向量族。

另外，特征值只不过反映了特征向量在变换时的伸缩倍数而已。对一个变换而言，特征向量指明的方向才是很重要的，特征值不那么重要。虽然我们求这两个量时先求出特征值，但特征向量才是更本质的东西！特征向量是指经过指定变换（与特定矩阵相乘）后不发生方向改变的那些向量，特征值是指在经过这些变换后特征向量的伸缩的倍数。

 

二、特征值和特征向量的计算

使用Matlab求矩阵的特征值和特征向量：

矩阵D的对角线元素存储的是A的所有特征值，而且是从小到大排列的。矩阵V的每一列存储的是相应的特征向量，因此V的最后一列存储的就是矩阵A的最大特征值对应的特征向量。

 

三、特征值和特征向量的性质

性质1. n阶方阵A=(a_ij)的所有特征根为l₁，l₂，…, l_n(包括重根)，则

 

性质2. 若 l 是可逆阵A的一个特征根，x为对应的特征向量，则 是A^-1的一个特征根，x仍为对应的特征向量。

 

性质3. 若 l 是方阵A的一个特征根，x为对应的特征向量，则l^m是A^m的一个特征根，x仍为对应的特征向量。

 

性质4. 设 l₁，l₂，…, l_m是方阵A的互不相同的特征值。x_j是属于l_i 的特征向量( i=1,2,…,m)，则 x₁,x₂,…,x_m线性无关，即不相同特征值的特征向量线性无关 。

性质4可推广为：设 l₁，l₂，…, l_m为方阵A的互不相同的特征值，x₁₁,x₁₂,…,x_1,k1是属于l₁的线性无关特征向量，……，x_m1,x_m2,…,x_m,k1是属于l_m 的线性无关特征向量。则向量组 x₁₁,x₁₂,…,x_1,k1,…, x_m1,x_m2,…,x_m,k1也是线性无关的。即对于互不相同特征值，取他们各自的线性无关的特征向量，则把这些特征向量合在一起的向量组仍是线性无关的。

 

 

对于任意一个矩阵，不同特征值对应的特征向量线性无关。

对于实对称矩阵或埃尔米特矩阵来说，不同特征值对应的特征向量必定正交（相互垂直）。

注：

埃尔米特矩阵（Hermitian matrix）(又称“自共轭矩阵”)是共轭对称的方阵。埃尔米特矩阵中每一个第i行第j列的元素都与第j行第i列的元素共轭相等。