下降幂多项式

下降幂多项式

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下降幂的定义

下降幂( ext{Falling Factorial})

下降幂多项式( ext{Falling Factorial Polynomial})下面简称( ext{FFP})

(x)的(n)阶下降幂(x^{underline n}=prod_0^{n-1}(x-i) = frac{x!}{(x-n)!})

一个下降幂多项式(F(x)=sum a_ix^{underline i})

学习了斯特林数或许对于下降幂的性质能够有所了解

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快速求解(x^{underline n})的展开形式

(x^{underline{n}}=x(x-1)cdots (x-n+1))

考虑倍增求解，假设已知(F(x)=x^{underline{n}})

要求(G(x)=x^{underline{2n}})

显然(G(x)=F(x)F(x-n))

而(egin{aligned} F(x-n)=sum_{i=0}^{n} [x^i]F(x) cdot (x-n)^iend{aligned})

用一次卷积处理这个二项展开即可

复杂度为(O(nlog n))

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FFP与其点值的( ext{EGF})

点值的( ext{EGF})为(egin{aligned} EGF(F(x))=sum_0^{infty}frac{F(i)x^i }{i!}end{aligned})

(egin{aligned}EGF(F(x))=sum_{i=0}^{infty}frac{x^i}{i!}sum_{j=0}^{n} frac{i!}{(i-j)!}cdot F_jend{aligned})

(egin{aligned}EGF(F(x))=sum_{i=0}^{infty}x^i sum_{j=0}^{n} frac{1}{(i-j)!}cdot F_jend{aligned})

换一下顺序

(egin{aligned}EGF(F(x))=sum_{i=0}^{n} F_i sum_{j=i}^{infty}frac{1}{(j-i)!} x^jend{aligned})

(egin{aligned}EGF(F(x))=sum_{i=0}^{n} F_i cdot x^i sum_{j=0}^{infty}frac{1}{j!} x^jend{aligned})

(egin{aligned}EGF(F(x))=sum_{i=0}^{n} F_i cdot x^i e^xend{aligned})

那么直接和(e^x)卷积就可以得到(F(x))的( ext{EGF})

Tips: (e^x)直接带入展开式(egin{aligned} e^{ax}=sum_0^{infty}frac{(ax)^i}{i!} end {aligned})

如果要从( ext{EGF})得到(F(x))

(egin{aligned}EGF(F(x))=sum_{i=0}^{n} F_i cdot x^ie^xend{aligned})

(egin{aligned} F_i=frac{EGF(F(x))}{x^ie^x} end{aligned})

那么就直接卷上(e^{-x})就可以了

即可以通过简单卷积完成( ext{FFP} Longleftrightarrow ext{EGF})的转化

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FFP卷积

求出( ext{EGF})，然后点值对应相乘(注意乘完之后要补上一个(i!))，最后再反求(F(x))

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Tips: 下面的知识恐怕需要先学多点求值/快速插值

多项式转FFP

带入(0,cdots n-1)，多点求值得到( ext{FFP})点值的(EGF)，然后求得到( ext{FFP})

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FFP转多项式

求出(F(x))的(EGF)，然后带入前(n)项的值，快速插值回来即可

由于(x_i)是连续的，所以不需要再多点求值求解(prodfrac{1}{x_i-x_j})，可以直接阶乘得到

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关于上升幂

(x^{overline n}=frac{(x+n-1)!}{(x-1)!}=x(x+1)(x+2)cdots(x+n-1))

容易发现的是(x^{overline n}=(-x)(-((-x)-1))(-((-x)-2))cdots (-(-x-(n-1)))=(-1)^n (-x)^{underline{n}})

所以上升幂多项式与普通多项式的转化 可以认为是上面的点值变成了(0,-1,cdots ,-(n-1))，奇数项系数取反