单位根反演

单位根反演

最基础的用途是用于FFT中点值式转多项式

即对于(G(i)=F(omega_n^i))，由(G(i))反演得到([x^i]F(i))的过程，称之为单位根反演

式子非常简单

(sum_{j=0}^{n-1}omega_n^{ij}= left{egin{aligned} frac{omega_n^{in}-1}{omega_n^i-1}=0 && i e 0\ n && i=0end{aligned} ight.)

更简洁的式子为(egin{aligned}frac{sum_{j=0}^{n-1}omega_n^{ij}}{n}=[n|i]end{aligned})

在生成函数的化简与构造中，常用于解决(mod n=0)的限制

如(sum_{n|i}frac{x^i}{i!})

通过单位根反演转化为

$ egin{aligned}sum_{n|i}frac{x^{i}{i!}=sum_{i=0}}{infty}frac{sum_{j=0}^{n-1}omega_n{ij}}{n} cdot frac{x^{i}{i!}=sum_{i=0}}{infty}sum_{j=0}^{n-1} frac{(xomega_n^j)i}{i!}=sum_{j=0}^{n-1}e{xomega_n^j}end{aligned}$

作为无穷级数压缩的一种方法

但是单位根反演转化有一个非常明显的局限，就是在模意义下，(n)阶单位根很可能无法求解

现在笔者还不会求模意义下特定的(n)阶单位根。。。