「JOI 2021 Final」地牢 3
判定无解
无解即：(exists iin[S,T-1],A_i>U)
是一个简单的区间最值问题
(O(nm))
关于用单调队列之类的东西维护每个点权值的方法这里就不提了
形式化地，我们把一层层点放到数轴上，令(X_i=sum_{j<i}A_j)
在数轴上坐标每(+1)消耗一点能量，我们要从(X_S)走到(X_T)
考虑每个点的情况，不妨看做是用(B_i)去覆盖((X_S,X_T])，求最小权值
发现对于(B_i)，它能够合法覆盖的区间一定是((X_i,X_i+U])
暴力地，可以直接让(B_i)更新这段区间的最小权值，然后暴力求和
进一步分析每个(B_i)覆盖的区间，可以发现是合法区间((X_i,X_i+U])中的某一连续段((L_i,R_i])
而(L_i)取决于(B_i)前面第一个(B_{pre}<B_i)，(R_i)取决于后面第一个(B_{nxt}leq B_i)
关于(pre,nxt)的求解显然只是一个单调栈解决
得到((L_i,R_i])简单的描述
(L_i=max{X_i,X_{pre}+U})
(R_i=min{X_i+U,X_{nxt}})
(ps:这样求得的(L_i)不一定(<R_i))
暴力枚举即可(O(n))查询
(T_i=n+1) 从这里开始需要一些数据结构？
考虑倒着从(n)到(1)计算每一个(S_i)的答案
发现在刚插入(i)的时候，(pre_i)还未出现，可以看做(-infty)，(nxt_i)已经确定
当(pre_i)出现时可以重新进行一次插入
每次插入可以用三元组表示((i,pre,nxt))，为了便于叙述这里(pre,nxt)直接是坐标
考虑对于(L_i,R_i)进行参数分离计算，首先要考虑何时满足(L_i<R_i)
显然条件就是(nxt-pre>U)
(displaystyle L_i=max{X_i,X_{pre}+U}=X_{pre}+max{X_i-X_{pre},U})
(displaystyle R_i=min{X_i+U,X_{nxt}}=X_i+min{U,X_{nxt}-X_i})
(displaystyle Answer=sum_{nxt-pre>U} (R_i-L_i)cdot B_i)
离线询问，离散之后可以用树状数组维护上述式子，对于不合法部分不要加入即可
(O(nlog n))
上面已经能计算(T_i=n+1)的询问，考虑将(S,T)转化为(T_{i}=n+1)的问题
如果直接(S,T)相减显然不合法，不妨找到在((S,n+1))的方案中，覆盖的(T)的点(T')
((S,n+1)-(T',n+1))会抵消掉在(S)的方案中(T)右边的部分，而((X_{T'},X_T])显然仍然是由(B_{T'})覆盖，补回来即可
由此完成分离操作，而根据上面区间覆盖的定义，(T')实际上就是((X_T-U,X_T])中最小的(B_i)
所有操作都可以(O(nlog n))完成
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef double db;
typedef pair <int,int> Pii;
#define mp make_pair
#define pb push_back
#define Mod1(x) ((x>=P)&&(x-=P))
#define Mod2(x) ((x<0)&&(x+=P))
#define rep(i,a,b) for(int i=a,i##end=b;i<=i##end;++i)
#define drep(i,a,b) for(int i=a,i##end=b;i>=i##end;--i)
template <class T> inline void cmin(T &a,T b){ ((a>b)&&(a=b)); }
template <class T> inline void cmax(T &a,T b){ ((a<b)&&(a=b)); }
char IO;
int rd(){
int s=0,f=0;
while(!isdigit(IO=getchar())) f|=IO=='-';
do s=(s<<1)+(s<<3)+(IO^'0');
while(isdigit(IO=getchar()));
return f?-s:s;
}
const int N=2e5+10,INF=1e9+10;
int n,m,A[N],B[N],nxt[N],stk[N],top,C;
ll ans[N],X[N],H[N];
struct Node{ int U,k,id; };
vector <Node> Q[N];
vector <int> G[N];
struct BIT{
ll s[N];
void Add(int p,ll x){
while(p<=C) s[p]+=x,p+=p&-p;
}
ll Que(int p){
ll res=0;
while(p) res+=s[p],p-=p&-p;
return res;
}
} T1,T2;
// T1维护式子中含U项的和
// T2维护式子中常数和
struct MaxTree{
int s[N<<2],bit;
void Build(){
for(bit=1;bit<=n+1;bit<<=1) ;
rep(i,1,n) s[bit+i]=A[i];
drep(i,bit,1) s[i]=max(s[i<<1],s[i<<1|1]);
}
int Que(int l,int r){
if(l==r) return s[l+bit];
int res=0;
for(l+=bit-1,r+=bit+1;l^r^1;l>>=1,r>>=1){
if(~l&1) cmax(res,s[l^1]);
if(r&1) cmax(res,s[r^1]);
}
return res;
}
} Max;
struct MinTree{
int s[N<<2],bit;
int Min(int x,int y){ return mp(B[x],x)<mp(B[y],y)?x:y; }
void Build(){
B[0]=1e9;
for(bit=1;bit<=n+1;bit<<=1) ;
rep(i,1,n) s[bit+i]=i;
drep(i,bit,1) s[i]=Min(s[i<<1],s[i<<1|1]);
}
int Que(int l,int r){
if(l==r) return s[l+bit];
int res=0;
for(l+=bit-1,r+=bit+1;l^r^1;l>>=1,r>>=1){
if(~l&1) res=Min(res,s[l^1]);
if(r&1) res=Min(res,s[r^1]);
}
return res;
}
} Min;
// Min 用于寻找T'
void Add(int i,ll pre,ll nxt,int k){
int p=lower_bound(H+1,H+C+1,X[i]-pre)-H,r=lower_bound(H+1,H+C+1,nxt-pre)-H;
// -L
T1.Add(p,-B[i]*k), T1.Add(r,B[i]*k);
T2.Add(p,k*B[i]*(X[i]-pre)), T2.Add(r,-k*B[i]*(X[i]-pre));
// +R
p=lower_bound(H+1,H+C+1,nxt-X[i])-H;
T1.Add(1,k*B[i]),T1.Add(p,-k*B[i]);
T2.Add(p,k*(nxt-X[i])*B[i]),T2.Add(r,-k*(nxt-X[i])*B[i]);
}
int main(){
n=rd(),m=rd();
rep(i,1,n) A[i]=rd(),X[i+1]=X[i]+A[i];
rep(i,1,n) B[i]=rd();
drep(i,n+1,1) {
while(top && B[stk[top]]>=B[i]) G[i].pb(stk[top--]);
nxt[i]=stk[top],stk[++top]=i;
}
Min.Build(),Max.Build();
rep(i,1,m) {
int S=rd(),T=rd(),U=rd();
if(Max.Que(S,T-1)>U){ ans[i]=-1; continue; }
H[++C]=U,Q[S].pb((Node){U,1,i});
int l=lower_bound(X+1,X+n+2,X[T]-U)-X; cmax(l,S);
int t=Min.Que(l,T);
ans[i]+=(X[T]-X[t])*B[t];
Q[t].pb((Node){U,-1,i});
}
sort(H+1,H+C+1),C=unique(H+1,H+C+1)-H-1;
drep(i,n,1){
Add(i,-1e9,X[nxt[i]],1);
for(int j:G[i]) Add(j,-1e9,X[nxt[j]],-1),Add(j,X[i],X[nxt[j]],1);
for(Node j:Q[i]){
int p=lower_bound(H+1,H+C+1,j.U)-H;
ans[j.id]+=j.k*(j.U*T1.Que(p)+T2.Que(p));
}
}
rep(i,1,m) printf("%lld
",ans[i]);
}