Codechef March Challenge 2021 Div2 Consecutive Adding(CONSADD)
题目大意:
给定两个(n imes m)矩阵(A),(B)和一个常数(x)
现在对于(A)操作,每次可以选择一行或者一列连续的(x)个,一起改变同一个数值(vin )
判断是否可以由(A)变成(B)
显然可以先将(A,B)作差,转化为操作成0矩阵
进一步,我们将(A)矩阵行内差分,使得每次行操作变为一个单点(A_{i,j}+v),一个单点(A_{i,j+x}-v)
在此基础上,继续差分即可将行列操作都转化为单点操作
此时容易发现,(A_{i,j})的数值有关联的部分都是(A_{i,j},A_{i+x,j},A_{i,j+x}cdots A_{i+ax,j+bx})
也就是相差(x)的,考虑可以将这一部分子矩形提取出来,这样问题变成了
每次操作一个数(A_{i,j}+v),可以选择相邻一个数(A_{i,j+1})或(A_{i+1,j})去(-v)
对于每个这样的子问题,容易发现有解的充要条件:子矩阵元素和为0
(可以依次考虑每个元素贪心构造方案)
如此可以(O(nm))判定
const int N=1010,INF=1e9+10;
int n,m,k;
ll A[N][N],B[N][N];
int V[N][N];
int main(){
rep(kase,1,rd()) {
n=rd(),m=rd(),k=rd();
rep(i,1,n+1) rep(j,1,m+1) A[i][j]=V[i][j]=0;
rep(i,1,n) rep(j,1,m) A[i][j]=rd();
rep(i,1,n) rep(j,1,m) A[i][j]-=rd();
rep(i,1,n+1) drep(j,m+1,1) A[i][j]-=A[i][j-1];
drep(i,n+1,1) rep(j,1,m+1) A[i][j]-=A[i-1][j];
// 3 次作差
int f=1;
rep(i,1,n+1) rep(j,1,m+1) if(!V[i][j]) {
ll s=0;
// 子问题判定
for(int a=i;a<=n+1;a+=k) for(int b=j;b<=m+1;b+=k) {
V[a][b]=1;
s+=A[a][b];
}
f&=s==0;
}
puts(f?"Yes":"No");
}
}