[水]整数拆分积

[水]整数拆分积

这是一个常规（小学奥数）结论

问题：对于(n(nge 3))，要求构造拆分(n=sum_{i=1}^m a_i)，最大化(prod a_i)

最优情况下，满足

1.(nmod 3=0)，(a_i=3)

2.(nmod 3=2)，(i<m,a_i=3 ; a_m=2)

3.(nmod 3=1)，(i<m,a_i=3 ; a_m=4)或(i<m-1,a_i=3 ;a_{m-1}=a_m=2)

容易发现(a_i=2,a_i=4)的都是边界情况，我们只需要分析为何(a_i=3)能够最大化答案

考虑由高维均值不等式 (displaystyle sqrt[m]{prod a_i}leq frac{sum a_i}{m})

(displaystyle prod a_ileq (frac{sum a_i}{m})^m)

故知在(a_i)尽量平均时取到最值

现在只需分析(a_i=x)在何时取到最值

不妨用一个函数(g(x)=x^{frac{n}{x}})来描述问题

由于上标中的(n)不影响单调性，不妨分析(displaystyle f(x)=g^{frac{1}{n}}(x)=x^{frac{1}{x}})

(f(x)=e^{frac{ln x}{x}})

(f'(x)=e^{frac{ln x}{x}}cdot frac{1-ln x}{x^2})

容易发现(f(x))在(x_0=e)处取极大值

由于(x'in )，带入(f(2)approx 1.414,f(3)approx 1.442)

故取(a_i=3)