【算法框架套路】回溯算法（暴力穷举的艺术）

目录

• 回溯算法介绍
• 框架套路
• 算法示例
  • 全组合
  • 全排列
  • 凑零钱
  • N皇后
  • 最长递增子序列
  • 最长公共子序列
• 优化思路
  • 备忘录避免重复计算
  • 向上返回阻断其他递归

回溯算法介绍

回溯算法可以搜索一个问题的所有解，本质是用递归代替N层for循环来“暴力穷举”

原理如下：

1. 从根节点出发深度搜索解空间树
2. 搜索到有解的分支时，继续向下搜索
3. 搜索到无解的分支时，回退到上一步，顾名思义“回溯”

框架套路

talk is cheap，show you the 套路，框架如下

结果集=[]
function dfs(选择列表，已选择的数组)
    if 结束条件
        结果集追加
        return
    for 选择 in 选择列表
        做选择
        dfs(选择列表, 已选择数组) 进入下一次选择
        取消选择
dfs(选择列表，[])
return 结果集

思路来自labuladong的算法小抄，自己改成了个人觉得更通用的版本，默认收集所有的解，便于跟踪调试。

重点：

1. 选择列表。当前可以做出的选择
2. 已选择路径。已经做出的选择
3. 结束条件。无法再做出选择的条件

有了这框架，以后遇到需要穷举的算法，把3个重点想通，直接套用，简直不要太嗨~

算法示例

以下算法全用python实现，需要注意的是python的数组默认是传递引用，引入了copy包来复制数组

全组合

全组合是穷举的代表了吧，给定指定不重复的字符串，比如给定["a","b"]，返回所有的组合结果应该是

aa
ab
ba
bb

我们来套用框架实现一下，代码如下

import copy

# 全组合
def combination(str_list):
    res = []

    max_len = len(str_list)

    def dfs(str_list, track_list):
        if len(track_list) == max_len:  # 满足条件，加入结果集
            res.append(track_list)
            return
        for c in str_list:
            track_list.append(c)  # 选择
            dfs(str_list, copy.copy(track_list))  # 进入下一次选择
            track_list.pop()  # 取消选择

    dfs(str_list, [])
    return res

三个重点：

1. 选择列表。可以选择的字符串，比如['a','b','c']，对应变量str_list。
2. 已选择路径。已经做出的选择，比如已经选择了['a']，对应变量track_list。
3. 结束条件。无法再做出选择的条件，已选择的数组长度等于最大长度，对应len(track_list) == max_len。

我们来测试一下

for v in combination(['a', 'b']):
    print(v)

运行输出

全排列

全排列和全组合差不多，唯一的区别是已经选择过的字符串，不让选择了。
我们只需要在全组合代码的基础上加上限制即可，代码如下

import copy


# 全排列
def permute(str_list):
    res = []

    max_len = len(str_list)

    def dfs(str_list, track_list):

        if len(track_list) == max_len:  # 满足条件，加入结果集
            res.append(track_list)
            return
        for c in str_list:
            if c in track_list:  # 已经存在的不再添加
                continue
            track_list.append(c)  # 选择
            dfs(str_list, copy.copy(track_list))  # 进入下一次选择
            track_list.pop()  # 取消选择

    dfs(str_list, [])
    return res

我们只是改了一下这里

我们用chenqionghe的简称['c','q','h']来测试一下

for v in permute(['c', 'q', 'h']):
    print(v)

运行输出

凑零钱

给定数量N种面值的硬币， 再给定一个金额，返回硬币凑出这个金额的最少数量。
比如，给定硬币1, 2, 5，总额为10，最少需要2枚硬币5+5=10

代码实现如下

def coin_change(coins, amount):
    res_list = []

    def dfs(n, track_list):
        if n == 0:
            res_list.append(track_list)  # 满足条件
            return 0

        if n < 0:
            return -1

        for coin in coins:
            track_list.append(coin)  # 做选择
            dfs(n - coin, copy.copy(track_list))  # 选择一个硬币，目标金额就会减少，解变为1+sub
            track_list.pop()  # 取消选择

    dfs(amount, [])
    return res_list

三个重点：

1. 选择列表。可以选择的硬币，对应coins数组。
2. 已选择路径。已经做出的选择，对应track_list数组。
3. 结束条件。无法再做出选择的条件，金额为0和负的时候。

需要注意的是：df函数代表的是：目标金额是n，需要dfs[n]个硬币，比如给定金额10，这次选择了2，这次选择能达到的金额数量是1+dfs(10 - 2)，也就是1+dfs(8)

我们来运行一下：

for v in coin_change([2, 3, 5], 10):
    print(v)

输出如下

给出了所有的方案，如果要最小的硬币只需要统计长度最小的即可。

N皇后

最典型的是八皇后：

在8×8格的国际象棋上摆放8个皇后，使其不能互相攻击，即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上，问有多少种摆法。

以4皇后为例，给定数字4，应该给出两种方案如下

第一种方案
. Q . .
. . . Q
Q . . .
. . Q .
第二种方案
. . Q .
Q . . .
. . . Q
. Q . .

套用框架实现如下

# N皇后问题
def solve_n_queens(n):
    res = []

    def dfs(board, row):
        if row == n:  # 到达最后一行，追加结果集
            res.append(board)
        for col in range(n):
            # 排除不合法的选择
            if not is_valid(board, row, col, n):
                continue
            board[row][col] = 'Q'  # 选择第row行第col列放Q

            dfs(copy.deepcopy(board), row + 1)

            board[row][col] = '.'  # 撤销选择
        return False

    board = [['.'] * n for _ in range(n)]  # 初始化二维数组
    dfs(board, 0)  # 从第0行开始做选择
    return res

# 判断是否能在board[row][col]放置Q
def is_valid(board, row, col, n):
    # 垂直方向是否有Q
    for v in range(row):
        if board[v][col] == 'Q':
            return False
    # 左上方是否有Q
    i, j = row - 1, col - 1
    while i >= 0 and j >= 0:
        if board[i][j] == 'Q':
            return False
        i = i - 1
        j = j - 1
    # 右上方是否有Q
    i, j = row - 1, col + 1
    while i >= 0 and j <= n - 1:
        if board[i][j] == 'Q':
            return False
        i = i - 1
        j = j + 1
    return True

N皇后的解法是，在每行做选择，选择为N列，做出选择后，进入下一行继续做选择
三个重点：

1. 选择列表。可以选择的列，对应的是0-n的任意一列。
2. 已选择路径。已经做出的选择，对应board二维数组。
3. 结束条件。无法再做出选择的条件，也就是已经到达最后一行的时候。

注意：is_valid的函数，主要是判断检测当前位置是否能放“皇后”，也就是检查垂直、左上方向和右上方是不是都没有“皇后”

我们来测试一下

res = solve_n_queens(8)
for data in res:
    print('-' * 20)
    for v in data:
        print(" ".join(v))

运行输出如下

最长递增子序列

给定一个未排序的整数数组，求这个数组的最长递增子序列
例如

输入: [10,9,2,5,3,7,101,18]
输出: 4
解释: 最长递增子序列是 [2,3,7,101], 所以长度为 4.

下面用回溯框架实现一下，找出所有的递增序列和最大的序列

import copy

def long_increasing_subsequence(arr):
    res_list = []
    n = len(arr)

    max_len = 1
    max_sub = []

    # 从第i个元素做选择
    def dfs(i, track_list):
        # 到达末尾 或 下一个元素比track数组最后一个大
        if i == n or (len(track_list) > 0 and arr[i] < track_list[-1]):
            res_list.append(track_list)  # 满足条件
            nonlocal max_len, max_sub
            if max_len < len(track_list):
                max_len = len(track_list)
                max_sub = track_list
            return
        for v in range(i, n):
            if len(track_list) > 0 and arr[v] < track_list[-1]:
                continue
            track_list.append(a[v])  # 做选择
            if v < n:
                dfs(v + 1, copy.copy(track_list))  # 下一次选择
            track_list.pop()  # 取消选择

    dfs(0, [])
    return max_sub, res_list


a = [10, 9, 2, 5, 3, 7, 101, 18]
max_sub, res_list = long_increasing_subsequence(a)
print(max_sub)

运行输出如下

最长公共子序列

给定两个字符串 text1 和 text2，返回这两个字符串的最长 公共子序列 的长度。如果不存在 公共子序列 ，返回 0 。
例如

输入：text1 = "abcde", text2 = "ace"
输出：3
解释：最长公共子序列是 "ace"，它的长度为 3。

下面用回溯框架实现一下，找出所有的公共子序列。
这次不太一样，因为之前都只有一个选择数组，这次变成了两个

import copy


def long_common_subsequence_all(str1, str2):
    len1, len2 = len(str1), len(str2)
    res_list = []

    def dp(i, j, track1, track2):
        if i == len1 or j == len2:
            # 到头了，收集一下，相同的子序列
            res_list.append("".join(track1))
            return

        c_track1 = copy.copy(track1)
        c_track2 = copy.copy(track2)

        if str1[i] == str2[j]:
            # 找到一个lcs中的元素，str1和str2分别选中，继续往下找
            c_track1.append(str1[i])
            c_track2.append(str2[j])
            dp(i + 1, j + 1, c_track1, c_track2)
            return
        else:
            dp(i, j + 1, c_track1, c_track2)
            dp(i + 1, j, c_track1, c_track2)

    dp(0, 0, [], [])

    lcs = ""
    for cs in res_list:
        if len(cs) > len(lcs):
            lcs = cs

    return lcs, res_list


s1 = "abcde"
s2 = "ace"
lcs, res_list = long_common_subsequence_all(s1, s2)
print(lcs)

优化思路

备忘录避免重复计算

以凑零钱为例，里边其实会出现很多相同子问题的递归
以10举个例子，当我们选择了选择了[2, 3]和[5]的时候，都需要再计算dfs(5)的值。数据越大，重复的递归越多，性能越差。

我们可以引入一个map，记录已经计算出的值，下次遇到相同问题直接返回结果

def coin_change_optimization(coins, amount):
    memo = {}
    def dfs(n):
        if n in memo:
            return memo[n]
        if n == 0:
            return 0
        if n < 0:
            return -1

        min_res = float('INF')
        for coin in coins:
            sub = dfs(n - coin)  # 选择一个硬币，目标金额就会减少，解变为1+sub
            if sub == -1:
                continue
            if min_res > 1 + sub:  # 更新最小值
                min_res = 1 + sub

        memo[n] = min_res if min_res != float('INF') else -1
        return memo[n]

    return dfs(amount)

向上返回阻断其他递归

以N皇后为例，我们只需要在得到解的时候return，并在上层接收即可，代码如下

# N皇后问题
def solve_n_queens(n):
    res = []

    def dfs(board, row):
        if row == n:  # 到达最后一行，追加结果集
            res.append(board)
            return True
        for col in range(n):
            # 排除不合法的选择
            if not is_valid(board, row, col, n):
                continue
            board[row][col] = 'Q'  # 选择第row行第col列放Q

            if dfs(copy.deepcopy(board), row + 1):
                return True

            board[row][col] = '.'  # 撤销选择
        return False

    board = [['.'] * n for _ in range(n)]  # 初始化二维数组
    dfs(board, 0)  # 从第0行开始做选择
    return res

以上只是在这里做了改动

看到没有，这就是回溯暴力穷举的艺术，最简单的框架，解决最难的问题~