bzoj2705

答案就是 ∑ d * phi(n / d) (d | n) 。。没得说。。

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 #define clr(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
 3 #define rep(i,l,r) for(int i=l;i<r;i++)
 4 typedef long long ll;
 5 using namespace std;
 6 ll read()
 7 {
 8     char c=getchar();
 9     ll ans=0,f=1;
10     while(!isdigit(c)){
11         if(c=='-') f=-1;
12         c=getchar();
13     }
14     while(isdigit(c)){
15         ans=ans*10+c-'0';
16         c=getchar();
17     }
18     return ans*f;
19 }
20 const int maxm=70000;
21 int f[maxm];
22 ll phi(ll x)
23 {
24     ll ans=x,m=ll(sqrt(x));
25     for(ll i=2;i<=m;i++)
26         if(x%i==0)
27         {
28             ans=ans/i*(i-1);
29             while(x%i==0)x/=i;
30         }
31     if(x>1) ans=ans/x*(x-1);
32     return ans;
33 }
34 int main()
35 {    
36     ll n=read(),ans=0;
37     int m=int(sqrt(n));
38     rep(i,1,m+1){
39         if(n%i==0){
40             ans+=i*phi(n/i);
41             if(i*i<=n) ans+=(n/i)*phi(i);
42         }
43     }
44     printf("%lld
",ans);
45     return 0;
46 }

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还有orzlsj的方法：

注意到h(n) = ∑ d * phi(n / d) (d | n) 是狄利克雷卷积的形式, 而且f(x) = x 和 f(x) = phi(x) 都是积性函数, 所以答案h(x) 也是积性函数.

所以h(x) = Π h(p^k) (p 是 x 的质因数)

由phi(p^k) = p^k - p^(k-1), h(p^k) 很好求. 化简一下得到 h(p^k) = (k + 1) * p^k - k * p^(k - 1)

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 #define clr(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
 3 #define rep(i,l,r) for(int i=l;i<r;i++)
 4 typedef long long ll;
 5 using namespace std;
 6 ll read()
 7 {
 8     char c=getchar();
 9     ll ans=0,f=1;
10     while(!isdigit(c)){
11         if(c=='-') f=-1;
12         c=getchar();
13     }
14     while(isdigit(c)){
15         ans=ans*10+c-'0';
16         c=getchar();
17     }
18     return ans*f;
19 }
20 const int maxm=70000;
21 int f[maxm];
22 ll phi(ll x)
23 {
24     ll ans=x,m=ll(sqrt(x));
25     for(ll i=2;i<=m;i++)
26         if(x%i==0)
27         {
28             ans=ans/i*(i-1);
29             while(x%i==0)x/=i;
30         }
31     if(x>1) ans=ans/x*(x-1);
32     return ans;
33 }
34 int main()
35 {    
36     ll n=read(),ans=1;
37     int m=int(sqrt(n));
38     rep(i,2,m+1){
39         if(n%i==0){
40             int k=0;
41             while(n%i==0){
42                 k++;n/=i;
43             }
44             ans*=(k+1)*pow(i,k)-k*pow(i,k-1);
45         }
46     }
47     if(n!=1) ans*=2*n-1;
48     printf("%lld
",ans);
49     return 0;
50 }

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2705: [SDOI2012]Longge的问题

Time Limit: 3 Sec Memory Limit: 128 MB
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Description

Longge的数学成绩非常好，并且他非常乐于挑战高难度的数学问题。现在问题来了：给定一个整数N，你需要求出∑gcd(i, N)(1<=i <=N)。

Input

一个整数，为N。

Output

一个整数，为所求的答案。

Sample Input

Sample Output

HINT

【数据范围】

对于60%的数据，0<N<=2^16。

对于100%的数据，0<N<=2^32。

Source

round1 day1

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