- 有一张(n)个点(m)条边的无向图，每条边有两种权值(u_i,v_i)。
- 求这张图的一个生成树，最小化(sum u imessum v)。
- (nle200,mle10^4)
构造坐标系
听说这是一种套路，然而我从未接触过。。。
考虑我们把(sum u)和(sum v)看作二维坐标((x,y))，那么就可以构造出一张平面直角坐标系。
那么现在我们想找的就是平面直角坐标系上(x imes y)最小的点。
首先，我们分别找到离(y)轴和(x)轴最近的两点(A,B)，这可以通过分别对(u,v)两种权值各做一次最小生成树求出。
显然(A,B)并不一定是最优点。考虑如果存在一个(C)比(A,B)更优，一个必要条件就是(C)位于直线(AB)的左下方（充要条件应该是在反比例函数左下方，但那样就麻烦多了）。
因此，我们去找到离(AB)最远的(C)，这就充要于找到使( riangle ABC)面积最大的(C)。
利用叉积公式：
[2S_{ riangle ABC}=vec{AC} imes vec {AB}
]
把它化开得到：
[egin{align}
2S_{ riangle ABC}&=(x_C-x_A) imes (y_B-y_A)-(y_C-y_A) imes (x_B-x_A)\
&=x_C imes (y_B-y_A)-y_C imes (x_B-x_A)-(x_A imes (y_B-y_A)-y_A imes (x_B-x_A))
end{align}
]
后面那一坨都是定值，因此我们要最大化(S_{ riangle ABC})就是要最大化(x_C imes (y_B-y_A)-y_C imes (x_B-x_A))。
方便起见，我们可以改成最小化(x_C imes(y_A-y_B)+y_C imes(x_B-x_A))。
然后考虑(x_C=sum u,y_C=sum v)，故上式等同于(sum(u imes(y_A-y_B)+v imes(x_B-xA)))。
那么只要对(u imes(y_A-y_B)+v imes(x_B-xA))做一次最小生成树就好了。
注意，此时的(C)仍不一定是最优点，还要递归处理(AC,CB)。
至于复杂度，我不会证明，但据说是有保证的。
代码：(O()能过())
#include<bits/stdc++.h>
#define Tp template<typename Ty>
#define Ts template<typename Ty,typename... Ar>
#define Reg register
#define RI Reg int
#define Con const
#define CI Con int&
#define I inline
#define W while
#define N 200
#define M 10000
#define LL long long
using namespace std;
int n,m,ee,lnk[N+5];struct line {int x,y,u,v;}s[M+5];
struct edge
{
int p,x,y,v;I edge(CI i=0,CI a=0,CI b=0,CI c=0):p(i),x(a),y(b),v(c){}
I bool operator < (Con edge& o) Con {return v<o.v;}
}e[M+5];
struct P {int x,y;I P(CI a=0,CI b=0):x(a),y(b){}};
int f[N+5];I int fa(CI x) {return f[x]^x?f[x]=fa(f[x]):x;}//并查集
int ta,tb;LL ans;I P MST()//最小生成树求出点坐标
{
RI i,x,y,a=0,b=0;LL t=0;for(i=1;i<=n;++i) f[i]=i;//初始化并查集
for(sort(e+1,e+m+1),i=1;i<=m;++i)//Kruskal最小生成树
(x=fa(e[i].x))^(y=fa(e[i].y))&&(f[y]=x,t+=e[i].v,a+=s[e[i].p].u,b+=s[e[i].p].v);
1LL*a*b==ans?a<ta&&(ta=a,tb=b):1LL*a*b<ans&&(ta=a,tb=b,ans=1LL*a*b);return P(a,b);//求出点坐标，更新答案
}
I void Solve(Con P& A,Con P& B)//递归求解
{
RI i,a=0,b=0;for(i=1;i<=m;++i) e[i]=edge(i,s[i].x,s[i].y,(A.y-B.y)*s[i].u+(B.x-A.x)*s[i].v);//三角形面积最大的点
P C=MST();1LL*(C.x-A.x)*(B.y-A.y)-1LL*(C.y-A.y)*(B.x-A.x)>0&&(Solve(A,C),Solve(C,B),0);//如果能找到左下方的点，就递归做
}
int main()
{
RI i;for(scanf("%d%d",&n,&m),ans=1e18,i=1;i<=m;++i)
scanf("%d%d%d%d",&s[i].x,&s[i].y,&s[i].u,&s[i].v),++s[i].x,++s[i].y;
for(i=1;i<=m;++i) e[i]=edge(i,s[i].x,s[i].y,s[i].u);P A=MST();//离y轴最近点
for(i=1;i<=m;++i) e[i]=edge(i,s[i].x,s[i].y,s[i].v);P B=MST();//离x轴最近点
return Solve(A,B),printf("%d %d
",ta,tb),0;
}