【CF468C】Hack it!（构造）

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• 定义(f(x))为一个十进制数(x)所有数码的和。
• 给定(a)，求构造一对(l,r(lle r))，满足(sum_{i=l}^rf(i)equiv0(mod a))。
• (1le ale10^{18})

构造

考虑对于任意(x<10^{18})，都有(f(x+10^{18})=f(x)+1)（应该是显然，就相当于在开头添了一个(1)）。

所以说，如果我们能求出(sum_{i=0}^{10^{18}-1}f(i)equiv t(mod a))，那么只要给它左右端点同时加上(a-t)，根据之前的结论就能使得左式的值恰好加上(a-t)。

因此，构造出的(sum_{i=a-t}^{10^{18}-1+a-t}f(i)equiv0(mod a))。

而要求(t)是非常简单的，就是考虑每一位共有(9)种选法，总和为(45)，而位与位之间的选择独立，因此每一位的每种选法都能出现(10^{17})次。

综上，我们有：

[sum_{i=0}^{10^{18}-1}=18 imes 45 imes10^{17}=81 imes10^{18} ]

所以这道题就做完了。

代码：(O(1))

#include<bits/stdc++.h>
#define Tp template<typename Ty>
#define Ts template<typename Ty,typename... Ar>
#define Reg register
#define RI Reg int
#define Con const
#define CI Con int&
#define I inline
#define W while
#define LL long long
using namespace std;
int main()
{
	LL a;scanf("%lld",&a);LL x=(LL)1e18,y=x*9%a*9%a;return printf("%lld %lld
",a-y,x-1+a-y),0;//直接构造
}