大致题意： 一个长度为(n)的数组，实现两种操作：将满足(gcd(i,k)=d)的(a_i)加上(v)，询问(sum_{i=1}^xa_i)。
对于修改操作的推式子
莫比乌斯反演真是个神奇而又有趣的东西......
考虑修改操作是将满足(gcd(i,k)=d)的(a_i)加上(v)，则若(d ot| k)，显然是不存在满足条件的(i)的，可以直接忽略这一修改操作（忘记判断结果调到心态爆炸......）
否则，也就相当于：
[a_i+=vcdot[gcd(i,k)=d]
]
将([gcd(icdot d,k)=d])转化，即三个数同时除以(d)，得到：
[a_i+=vcdot[gcd(frac id,frac kd)=1]
]
根据(sum_{p|x}mu(p)=[x=1])这一性质，我们就可以将上述式子再次变形，得到：
[a_i+=sum_{p|frac id,p|frac kd}vcdotmu(p)
]
因为原式中(p|frac id)这一限制等同于((pcdot d)|i)，所以就等同于：
[a_i+=sum_{(pcdot d)|i,p|frac kd}vcdot mu(p)
]
如果我们枚举满足(p|frac kd)的(p)，并增开一个辅助数组(f)，每次修改操作就相当于修改(f)：
[f_{pcdot d}+=vcdotmu(p)
]
那么对于(a_i)，其实就可以得到：
[a_i=sum_{j|i}f_j
]
对于询问操作的推式子
题目询问我们(sum_{i=1}^xa_i)。
由之前推出的式子我们知道：
[a_i=sum_{j|i}f_j
]
所以，答案就是：
[sum_{i=1}^xsum_{j|i}f_j
]
调整枚举顺序，先枚举(j)，得到：
[sum_{j=1}^xlfloorfrac xj
floor f_j
]
所以，我们可以先除法分块，并利用树状数组实现对(f)的区间求和，即可得出答案了。
代码
#include<bits/stdc++.h>
#define Tp template<typename Ty>
#define Ts template<typename Ty,typename... Ar>
#define Reg register
#define RI Reg int
#define Con const
#define CI Con int&
#define I inline
#define W while
#define N 200000
#define LL long long
#define pb push_back
using namespace std;
int n;vector<int> v[N+5];
class FastIO
{
private:
#define FS 100000
#define tc() (A==B&&(B=(A=FI)+fread(FI,1,FS,stdin),A==B)?EOF:*A++)
#define pc(c) (C==E&&(clear(),0),*C++=c)
#define tn (x<<3)+(x<<1)
#define D isdigit(c=tc())
int T;char c,*A,*B,*C,*E,FI[FS],FO[FS],S[FS];
public:
I FastIO() {A=B=FI,C=FO,E=FO+FS;}
Tp I void read(Ty& x) {x=0;W(!D);W(x=tn+(c&15),D);}
Tp I void write(Ty x) {W(S[++T]=x%10+48,x/=10);W(T) pc(S[T--]);}
Tp I void writeln(Con Ty& x) {write(x),pc('
');}
I void put_case(CI x) {pc(67),pc(97),pc(115),pc(101),pc(32),pc(35),write(x),pc(58),pc(10);}
I void clear() {fwrite(FO,1,C-FO,stdout),C=FO;}
}F;
class LinearSieve//线性筛预处理莫比乌斯函数
{
private:
int Pt,P[N+5],mu[N+5];
public:
I int operator [] (CI x) Con {return mu[x];}
I LinearSieve()
{
mu[1]=1;for(RI i=2,j;i<=N;++i)
for(!P[i]&&(mu[P[++Pt]=i]=-1),j=1;j<=Pt&&1LL*i*P[j]<=N;++j)
if(P[i*P[j]]=1,i%P[j]) mu[i*P[j]]=-mu[i];else break;
}
}Mu;
class TreeArray//树状数组实现单点修改、区间求和
{
private:
LL a[N+5];
public:
I void Clear() {memset(a,0,sizeof(a));}
I void Add(RI x,CI y) {W(x<=n) a[x]+=y,x+=x&-x;}
I LL Qry(RI x,LL t=0) {W(x) t+=a[x],x-=x&-x;return t;}
}T;
int main()
{
RI Tt=0,Qt,op,x,y,z,l,r;LL t;vector<int>::iterator it;
for(RI i=1,j;i<=N;++i) if(Mu[i]) for(j=i;j<=N;j+=i) v[j].pb(i);//预处理约数，注意μ=0可忽略
W(F.read(n),F.read(Qt),n&&Qt)
{
F.put_case(++Tt),T.Clear();W(Qt--) switch(F.read(op),F.read(x),op)
{
case 1:if(F.read(y),F.read(z),x%y) continue;x/=y;//注意判断不整除情况直接跳过
for(it=v[x].begin();it!=v[x].end()&&*it*y<=n;++it) T.Add(*it*y,Mu[*it]*z);break;//枚举约数在树状数组上修改
case 2:for(t=0,l=1;l<=x;l=r+1) r=x/(x/l),t+=(T.Qry(r)-T.Qry(l-1))*(x/l);F.writeln(t);break;//除法分块+树状数组求答案
}
}return F.clear(),0;
}