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  • 【洛谷1290】欧几里德的游戏(博弈论)

    点此看题面

    大致题意: 给定两个正整数,从(Stan)开始,每次将两个数中较大的数减去较小数的正整数倍(得到数不能小于0),然后是(Ollie)进行同样操作。若谁先得到0谁就胜利,请你求出谁会取得胜利。

    分类讨论

    这一看就是博弈论题。

    我们可以用(w(x,y))来表示两个数分别为(x)(y)时的获胜情况(设(x≥y)),并设(a=lfloorfrac xy floor,b=x)%(y)

    下面是一波分类讨论:

    • 如果(x=y)

      显然此时的决策者胜利(可以直接将(x)减去(y),变成((y,0)))。

    • 如果(a≥2)

      • (w(y,b)=1)

        则此时的决策者必然可以使当前状态转移到((y+b,b))(只要将(x)减去(y(a-1))即可),然后对手就只能使状态转移到((y,b)),因此此时的决策者必胜。

      • (w(y,b)=0)

        则此时的决策者必然可以使当前状态转移到((y,b))(只要将(x)减去(ay)即可),则对手必输,因此此时的决策者必胜。

      综上所述,此时的决策者必胜。

    • 如果(a<2)

      这时,我们不能直接看出此时决策者是否必胜或必输,这时候就需要递归了,因为此时的决策只有一种(将(x)减去(y)),因此此时的获胜情况就是(!w(y,x-y))

    递归函数w(x,y)

    这样一来,就不难得出一个递归函数(w(x,y))了:

    inline bool w(int x,int y)//递归函数,判断两个数分别为x和y,且x≥y时是否必胜
    {
        if(x^y&&x/y<2) return !w(y,x-y);//如果x≠y且x/y<2,就不能直接看出必胜或必输,因此就执行此时唯一的决策方案,并递归调用w()函数
        return true;//否则,x=y或x/y≥2,通过上面的证明可得此时的决策者必胜
    }
    

    代码

    #include<bits/stdc++.h>
    #define max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y))
    #define min(x,y) ((x)<(y)?(x):(y))
    #define abs(x) ((x)<0?-(x):(x))
    #define LL long long
    #define ull unsigned long long
    #define swap(x,y) (x^=y,y^=x,x^=y)
    #define tc() (A==B&&(B=(A=ff)+fread(ff,1,100000,stdin),A==B)?EOF:*A++)
    #define pc(ch) (pp_<100000?pp[pp_++]=ch:(fwrite(pp,1,100000,stdout),pp[(pp_=0)++]=ch))
    #define N 20
    int pp_=0;char ff[100000],*A=ff,*B=ff,pp[100000];
    using namespace std;
    int n,m;
    inline void read(int &x)
    {
        x=0;static char ch;
        while(!isdigit(ch=tc()));
        while(x=(x<<3)+(x<<1)+ch-48,isdigit(ch=tc()));
    }
    inline void ps(string x)
    {
        register int i,len=x.length();
        for(i=0;i<len;++i) pc(x[i]);
    }
    inline bool w(int x,int y)//递归函数w(x,y)
    {
        if(x^y&&x/y<2) return !w(y,x-y);
        return true;
    }
    int main()
    {
        register int i,T;read(T);
        while(T--)
        {
            read(n),read(m);
            w(max(n,m),min(n,m))?ps("Stan wins
    "):ps("Ollie wins
    ");
        }
        return fwrite(pp,1,pp_,stdout),0;
    }
    
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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/chenxiaoran666/p/Luogu1290.html
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