- 给定一个字符串，求每个前缀的最小表示。
- (nle3 imes10^6)
(Lyndon)分解
假设我们能对每个前缀做一遍(Lyndon)分解，那么根据其定义及性质，答案就应该是最后一个(Lyndon Word)的起始位置。
注意不能认为每个前缀的答案是原串做(Lyndon)分解后它所在(Lyndon Word)的开头，因为我们的(Duval)算法维护着(u^tv)，在做整个串的时候默认在末尾位置添上了一个(-infty)所以能够保证分解彻底，而在做到某个前缀的时候(v)尚未完全分解，不能直接当作答案。
尽管如此，此题的正解依旧需要用到(Duval)算法，仍然假设我们当前维护的是(u^tv)，根据(s_k)（当前字符）与(s_j)（在先前循环节中对应的字符4）的大小分类讨论。
如果(s_j=s_k)，我们有两种选择——(u^tv)的起始位置(i)或先前循环节中(k)的对应位置(j)的答案向后移一个循环节的对应位置(ans_j+k-j)。
如果(s_j<s_k)，根据(Lyndon)串的性质，(u^tv)加上(s_k)后恰好成为一个完整的(Lyndon Word)，此时不需要担心分解不彻底，(ans_k)就是(i)。
如果(s_j>s_k)，原本的(Lyndon)串就固定了下来，与当前位置没有关系，因此等到之后再求解。
(ExKMP)算法
在前面的做法中又产生了一个新的问题，即对于前缀(k)，如何比较两个答案(i)和(ans_j+k-j)谁更优。
方便起见记(x=i,y=ans_j+k-j,R=k)，那么就是要比较(s[x:R]+s[1:x))与(s[y:R]+s[1:y))的字典序。
首先由于我们只会在(s_j=s_k)时尝试比较，(s[x:x+R-y])与(s[y:R])必然相同。
因此我们可以把比较分成两部分：先比较(s[x:R])剩余的部分(s[x+R-y+1:R])与(s[1:y))的开头一部分(s[1:y-x])，然后比较(s[1:x))与(s[1:y))的剩余部分(s[y-x+1:y))。
这样一来每次比较都是将一个子串([a:b])与原串的前缀([1:b-a+1])比较，这只要求出后缀(a)与原串的(lcp)长度判断在比较范围内是否存在差异，然后比较第一个不同位即可。
要求一个后缀和原串的(lcp)长度，就是要求(Z)函数，直接上(ExKMP)就结束了。
代码：(O(n))
#include<bits/stdc++.h>
#define Tp template<typename Ty>
#define Ts template<typename Ty,typename... Ar>
#define Reg register
#define RI Reg int
#define Con const
#define CI Con int&
#define I inline
#define W while
#define N 3000000
using namespace std;
int n,ans[N+5];char s[N+5];
int Z[N+5];I void ExKMP()//预处理Z函数
{
RI i,id,Mx=0;for(Z[1]=n,i=2;i<=n;i+Z[i]-1>Mx&&(Mx=i+Z[id=i]-1),++i)
{i<=Mx&&(Z[i]=min(Z[i-id+1],Mx-i+1));W(i+Z[i]<=n&&s[i+Z[i]]==s[1+Z[i]]) ++Z[i];}
}
I int Mn(CI x,CI y,CI R)//比较对于前缀R，x和y哪个更优
{
if(x==y) return x;RI z=Z[x+R-y+1];if(z<y-x) return s[x+R-y+1+z]<s[1+z]?x:y;//比较s[x:R]剩余部分与s[1:y)开头部分
if((z=Z[y-x+1])<x-1) return s[1+z]<s[y-x+1+z]?x:y;return x;//比较s[1:x)开头部分与s[1:y)剩余部分
}
int main()
{
RI i,j,k;scanf("%s",s+1),n=strlen(s+1),ExKMP();
for(i=1;i<=n;i+=(k-i)/(k-j)*(k-j)) {!ans[i]&&(ans[i]=i),j=i,k=i+1;//起始位置ans[i]=i
W(k<=n&&s[j]<=s[k]) s[j]<s[k]?(!ans[k]&&(ans[k]=i),j=i):(!ans[k]&&(ans[k]=ans[j]<i?i:Mn(i,ans[j]+k-j,k)),++j),++k;}//s[j]<s[k]直接ans[k]=i；s[j]=s[k]比较i和ans[j]+k-j谁更优
for(i=1;i<=n;++i) printf("%d ",ans[i]);return 0;
}