【洛谷5377】[THUPC2019] 鸽鸽的分割（平面图欧拉公式）

点此看题面

• 给定一个圆，在上面选择(n)个点两两用线段相连，求最多能把蛋糕分成多少块。
• 数据组数(le20,nle64)

平面图欧拉公式

首先给出结论：

[F+V=E+2 ]

其中(F)为分成平面数（包含外部平面），(V)为顶点数，(E)为边数。

考虑证明，我们任选出图中一棵生成树，边数为(V-1)。

然后我们构建该图的对偶图，不算生成树中的边。

由于我们选出的是生成树，肯定不会有平面被完全包围住，因此对偶图上所有点连通。而由于我们能选出一棵生成树，则对偶图中也不会有环，因此对偶图也是一棵生成树，边数为(F-1)。

因为原图和对偶图中的边加在一起就是所有边，因此((V-1)+(F-1)=E)，即(V+F=E+2)。

在此题的应用

对于(V)，在圆上本来就有(n)个点，而任意四点之间会产生一个交点（交点个数为(C_n^4)）。因此(V=n+C_n^4)。

对于(E)，在圆上本来就有(n)段圆弧，而任意两点之间会产生一条线段（初始线段个数为(C_n^2)），一个交点会把两条线段分成四条新增两条线段（新增线段个数为(2C_n^4)）。因此(E=n+C_n^2+2C_n^4)。

所以，综上(F=E+2-V-1)（最后的减(1)是要减去外部平面），化简得到(1+C_n^2+C_n^4)。

代码：(O(T))

#include<bits/stdc++.h>
#define Tp template<typename Ty>
#define Ts template<typename Ty,typename... Ar>
#define Reg register
#define RI Reg int
#define Con const
#define CI Con int&
#define I inline
#define W while
using namespace std;
int n;
int main()
{
	W(~scanf("%d",&n)) printf("%d
",1+n*(n-1)/2+n*(n-1)*(n-2)*(n-3)/24);return 0;//平面图欧拉公式
}