第二课 欧几里德算法与扩展欧几里德算法

耐心的看下去终究会懂的。

♦ 我们规定gcd(a,0)=a

♦ 欧几里德算法中需要明确的是，gcd(a,b) = gcd(b,r)

证明：设x=gcd(a,b)，那么b能整除以x（即b/x没有余数，觉得"整除以"比"整除"更直观，下同）。

∵a=bq+r

∴r=a-bq

∴r能整除以x

∴x为b,r的公约数（没有证明是最大）

假设y为gcd(b,r)，所以x≤y（y是最大的约数！）

显然，b能整除以y

∵a=bq+r

∴a能整除以y.

∴y是a,b的约数

∴y≤x

∴x=y=gcd(b,r)

∴gcd(a,b) = gcd(b,r)

求两个数的最大公约数——辗转相除法（欧几里德算法）

int gcd(int a, int b)
{
    if(a < b) swap(a,b);    
    
    int r = a%b;    
    
    while (r)
    {
        a = b;
        b = r;
        r = a%b;
    }

    return b;
}

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给定a,b,c，求满足ax+by=gcd(a,b)的整数解(x,y)——扩展欧几里德算法

int extended_gcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
    if (a < b) swap(a,b);
    
    if (b == 0)
    {
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    
    int p,q;
     
    int ans = gcd(b, a%b, p, q);
    
    x = q;

    y = p - a/b*q;
    
    return ans;
}

♦ 假设给定a,b. 那么我们知道a,b的最大公约数必定可以表示成a,b的线性组合,ax+by=gcd(a,b),问题是x,y是多少呢？ 

证明：已知a%b=r,gcd(a,b)=ax+by(x,y未知)

∵gcd(a,b)=gcd(b,r)

∴gcd(b,r) = bp+rq = bp+(a%b)q = bp+(a-a/b*b)q = aq+b(p-a/b*q)

即ax+by = gcd(a,b) = aq+b(p-a/b*q)

解得x=q, y=p-a/b*q;

ok,到这里为止,我们得到ax+by=gcd(a,b)的一组解, x和y。

♦ 那么不失一般性，给定a,b,c，ax+by=c的解又怎么求呢？

思路：等式两边同时乘以gcd(a,b)/c

假设ax+by=gcd(a,b)的解为x0,y0.则x=x0*c/gcd(a,b),y=y0*c/gcd(a,b)