RNN的损失函数
仍然以Slot Filling为例，如下图所示。
对于1个word(x^i)，RNN输出1个one-hot编码的vector (y^i)，求(y^i)和对应label的交叉熵损失（Cross Entropy Loss），将多个word的loss求和即为RNN的损失函数。需要注意的是不能打乱word的语序，(x^{i+1})要紧接着(x^i)输入。
确定RNN的损失函数后，RNN的训练其实也是用的梯度下降。训练前馈神经网络时我们使用有效的反向传播算法，为了方便地训练RNN，我们使用BPTT。基于BP，BPTT(Backpropagation Through Time)考虑了时间维度的信息。
RNN的Error Surface
RNN的Error Surface如下图所示，其中(z)轴代表loss，(x)轴和(y)轴代表两个参数(w_1)和(w_2)。可以看出，RNN的Error Surface在某些地方非常平坦，在某些地方又非常的陡峭。这样的Error Surface导致在训练RNN时loss剧烈变化。
问题出现的原因
既然RNN的Error Surface中有这么平滑的地方，那会不会是sigmoid激活函数造成的梯度消失呢？原因并不是sigmoid，如果是的话，那换成ReLU就可以，但把sigmoid换成ReLU之后，效果反而更差了。那到底为什么会有非常陡峭和非常平滑的地方呢？
如上图所示，假设某RNN只含1个神经元，并且该神经元是Linear的，input和output的weight都是1，没有bias，memory传递的weight是(w)，输入序列为[1, 0, 0, 0, …, 0]，所以(y^{1000}=w^{999})。
现在我们考虑loss关于参数(w)的梯度，当(w: 1 => 1.01)时，可知(y^{1000}: 1 => 20000)，此时梯度很大；当(w: 0.99 => 0.01)时，可知(y^{1000})几乎没有变化，此时梯度很小。
从该例中可知，RNN的Error Surface中的“悬崖”出现的原因是，关于memory的参数(w)的作用随着时间增加不断增强，导致RNN出现梯度消失或梯度爆炸的问题。
处理方法
如何解决RNN梯度消失或梯度爆炸的问题？可以通过Clipping进行处理，Clipping的效果是使梯度不超过某个阈值，即当梯度即将超过某个阈值（比如15）时，就将梯度赋值为该阈值。
LSTM
有什么更好的方法可以解决RNN的Error Surface中的问题呢？LSTM就是使用最广泛的技巧，它可以“删除”Error Surface中比较平坦的部分，也就解决了梯度消失的问题，但它无法解决梯度爆炸的问题。正因如此，训练LSTM时需要将学习率调得特别小。
LSTM为什么可以解决RNN中梯度消失的问题呢，因为RNN和LSTM对memory的处理是不同的（LSTM有forget gate）。在RNN中，每个时间点memory中的旧值都会被新值覆盖，导致参数(w)对memory的影响每次都被清除，进而引发梯度消失。在LSTM中，每个时间点memory里的旧值会乘以(f(g(f)))再与新值相加，只有在forget gate被关闭时参数(w)对memory的影响才会被清除，在forget gate被打开时参数(w)对memory的影响就会通过累加得到保留，因此不会出现梯度消失的问题。
LSTM在1997年被提出，第1版的LSTM被提出就是为了解决梯度消失的问题，但这1版本是没有forget gate的，forget gate是后来才加上去的。也有1种说法是，在训练LSTM时需要给forget gate特别大的bias，以确保forget gate在多数情况下是开启的。
GRU（Gated Recurrent Unit, Cho, EMNLP'14）
GRU比LSTM更简单，GRU只有2个gate，因此需要更少的参数量、鲁棒性更好、更不容易过拟合。GRU的基本思路是“旧的不去，新的不来”，GRU把input和forget gate联动起来，当forget gate把memory中的值清空时，input gate才会打开然后放入新的值。
Clockwise RNN（Jan Koutnik, JMLR'14）
SCRN（Structrally Constrained Recurrent Network, Tomas Mikolov, ICLR'15）
Vanilla RNN Initialized with Identity Matrix + ReLU（Quoc V.Le, arXiv'15）
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