离群值检测

离群值检测

离群值

outlier：样本中的一个或几个观测值，它们离其他观测值较远，暗示它们可能来自不同的总体。

离群值分类

• 总体固有变异性的极端表现，这类离群值与样本的其余观测值属于统一总体；
• 由于试验条件和试验方法的偶然偏离所产生的结果，或产生与观察、记录、计算中的失误，这类离群值与样本中其余观测值不属于统一总体。

数学小知识

方差：

标准差：

​ 标准差能反映一个数据集的离散程度。

离群值检测方法

一、莱茵达准则（拉依达准则）

• Z-score标准化辅助识别离群值，Z-score值表示原始样本x和样本均值μ之间的距离，而且这个距离以标准差σ为单位进行计算：Z-score(x)=(x-μ)/σ

• 得到样本的Z-score值后，通常将满足条件|Z-score(x)|>3的样本视为离群值（3σ法）。
  

• 正态曲线下：

  • 横轴区间(μ-σ,μ+σ)内的面积为68.268949%。

    P{|X-μ|<σ}=2Φ(1)-1=0.6826

  • 横轴区间(μ-1.96σ,μ+1.96σ)内的面积为95.449974%。

    P{|X-μ|<2σ}=2Φ(2)-1=0.9544

  • 横轴区间(μ-2.58σ,μ+2.58σ)内的面积为99.730020%。

    P{|X-μ|<3σ}=2Φ(3)-1=0.9974

二、箱线图

• 箱形图也叫箱线图,是检验样本数据中异常值的常用方法,与3σ法不同,箱形图法既可以用作服从正态分布样本数据异常值判断,也可以用作不服从正态分布样本数据异常值判断，适用范围广。

• 箱线图由最大值、上四分位数（Q3）、中位数（Q2）、下四分位数（Q1）和最小值五个统计量构成，Q1到Q3的间距为IQR，箱两端分别为上四分位数 (Q3）、下四分位数 (Q1) , 最大值、最小值分别为箱两端的须, 箱线图法中样本数据大于Q3+1.5IQR和小于Q-1.5IQR定义为异常值 (outlier) .箱线图结构下图所示.
  

• Python做图示例
  

三、基于近邻判断离群值

• 对样本的离群程度进行量化，分数由它与K个最近邻的距离决定，分数的取值[0,+∞]：

  • 计算每一个样本与其最近的K个近邻样本的距离，放到集合C中。
  • 对C中的所有元素进行降序排列。
  • 根据给定的距离阈值，选取C中大于给定阈值的距离所对应的样本作为离群值。

• 距离计算

  • 欧氏距离
    

  • 曼哈顿距离
    

欧式距离的缺点

• 欧式距离看起来非常合理，例如二维下的欧式距离就是勾股定理算距离，但是合理性这个需要在统一测量尺度的前提下，例如两个维度分别是{身高1700mm、体重0.060T}，{身高1900mm、体重0.080T}这类数据肯定是身高特征对两点的距离影响大。但是两个维度特征是平等的，就因为测量尺度不统一，造成身高对两点的距离影响大，这就不合理了。

• 马氏距离：

  表示数据的协方差距离。它是一种有效的计算两个未知样本集的相似度的方法。与欧氏距离不同的是，它考虑到各种特性之间的联系（例如：一条关于身高的信息会带来一条关于体重的信息，因为两者是有关联的），并且是尺度无关的(scale-invariant)，即独立于测量尺度。
  

---以上总结参考于《数据科学导引》，国家标准GBT 4883-2008 数据的统计处理和解释 正态样本离群值的判断和处理