积化和差与和差化积

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积化和差与和差化积
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一、求证： $\sin α \cos β = \frac{1}{2} [\sin (α + β) + \sin (α - β)]$

证明：因为

$\sin (α + β) = \sin α \cos β + \cos α \sin β$

$\sin (α - β) = \sin α \cos β - \cos α \sin β$

将以上两式的左右两边分别相加，得

$\sin (α + β) + \sin (α - β) = 2 \sin α \cos β$

即

$\sin α \cos β = \frac{1}{2} [\sin (α + β) + \sin (α - β)]$

同理得到

$\cos α \sin β = \frac{1}{2} [\sin (α + β) - \sin (α - β)]$

$\cos α \cos β = \frac{1}{2} [\cos (α + β) + \cos (α - β)]$

$\sin α \sin β = - \frac{1}{2} [\cos (α + β) - \cos (α - β)]$

由于公式的左边为积的形式，右边为和或差的形式，故把上述四个公式称为积化和差公式.

二、求证： $\sin θ + \sin φ = 2 \sin \frac{θ + φ}{2} \cos \frac{θ - φ}{2}$

证明：由上一题的证明有

$\sin (α + β) + \sin (α - β) = 2 \sin α \cos β$

设 $α + β = θ, α - β = φ$ .那么

$α = \frac{θ + φ}{2}, β = \frac{θ - φ}{2}$

把 $α, β$ 的值代入上式，即得

$\sin θ + \sin φ = 2 \sin \frac{θ + φ}{2} \cos \frac{θ - φ}{2}$

同理得

$\sin θ - \sin φ = 2 \cos \frac{θ + φ}{2} \sin \frac{θ - φ}{2}$

$\cos θ + \cos φ = 2 \cos \frac{θ + φ}{2} \cos \frac{θ - φ}{2}$

$\cos θ - \cos φ = - 2 \sin \frac{θ + φ}{2} \sin \frac{θ - φ}{2}$

我们把上述四个公式称为和差化积公式.

例题

$1$

、已知 $\sin (α + β) = \frac{1}{2}, \sin (α - β) = \frac{1}{3}$ ，求 $\sin α \cos β$

.

解析： $\sin α \cos β = \frac{1}{2} [\sin (α + β) + \sin (α - β)] = \frac{5}{12}$

$2$

、设 $A, B, C$ 是 $△ A B C$

的三个内角，求证：

$sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C = 4 sin A sin B sin C$

证明：

$= = = = sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C 2 sin (A + B) cos (A - B) - 2 sin (A + B) cos (A + B) 2 sin (A + B) [cos (A - B) - cos (A + B)] 2 sin (A + B) 2 sin A sin B 4 sin A sin B sin C$

练习

已知 $A + B + C = π$

，求证：

$(1) \sin A + \sin B + \sin C = 4 \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}$

$(2) \cos A + \cos B + \cos C = 1 + 4 \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}$

https://www.zhihu.com/question/295940509/answer/2067843136
作者：农夫三拳
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个人是这么记得，先说口诀再解释

积化和差：

异名相乘变正弦，正弦在前加号连。

同名相乘变余弦，正弦变余双减连。

和差化积：

正弦加减变异名，相加则为正在前。

余弦加减变同名，相减变正负号连。

先说积化和差

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ

两者相加，得到

sinαcosβ=1/2[sin(α+β)+sin(α-β)] ①

两者相减，得到

cosαsinβ=1/2[sin(α+β)-sin(α-β)] ②

观察得到的两式，一个式子中都有cos和sin两种三角，这样定义为异名，因此得到口诀

异名相乘变正弦，正弦在前加号连。

那余弦在前减号连呗

注意，等号后面默认的是先(α+β)，再(α-β)。

cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ

两式相加，得到

cosαcosβ=1/2[cos(α+β)+cos(α-β)] ③

两式相减，得到

sinαsinβ=-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)] ④

一点说明:本式应该写成cos(α-β)-cos(α+β)好一些，但是因为要统一写成先(α+β)，再(α-β)的形式，所以前面要提出一个负号。

观察得到的两式，都是一个式子中只有一种三角，这样定义为同名，得到口诀

同名相乘变余弦，正弦变余双减连。

其中，双减表示的意思为一个负号，一个减号。

类比可以推出，余弦变余加号连。

所以积化和差的口诀总结为

异名相乘变正弦，正弦在前加号连。

同名相乘变余弦，正弦变余双减连。

下面说和差化积，可由积化和差公式换元导出，

由①变一下字母得到

sinθcosδ=1/2[sin(θ+δ)+sin(θ-δ)]

令α=(θ+δ) ， β=(θ-δ)

则 θ=1/2(α+β)， δ=1/2(α-β)

所以上式变为

sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]×cos[(α-β)/2]

由②变一下字母得到

cosθsinδ=1/2[sin(θ+δ)-sin(θ-δ)]

令α=(θ+δ) ， β=(θ-δ)

则 θ=1/2(α+β)， δ=1/2(α-β)

sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2] ×sin[(α-β)/2]

逆用积化和差的口诀，改为

正弦加减变异名，相加则为正在前。

那相减则为余在前呗

注意，此时等号后面仍然是先(α+β)，后(α-β)，只不过是各自都要除以2

由③④变换后可得

cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]×cos[(α-β)/2]

和

cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]×sin[(α-β)/2]

逆用积化和差口诀，得到

余弦加减变同名，相减变正负号连。

这里应该注意一下断句：相减变正，负号连。

如果是余弦减余弦，那么变为正弦，且前面有一个负号。

那么相加就是变余正号连了。
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积化和差与和差化积

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异名相乘变正弦，正弦在前加号连。

同名相乘变余弦，正弦变余双减连。

正弦加减变异名，相加则为正在前。

余弦加减变同名，相减变正负号连。

异名相乘变正弦，正弦在前加号连。

同名相乘变余弦，正弦变余双减连。

异名相乘变正弦，正弦在前加号连。

同名相乘变余弦，正弦变余双减连。

正弦加减变异名，相加则为正在前。

余弦加减变同名，相减变正负号连。